Санкт-Петербургский гуманитарный университет профсоюзов

Утверждена

Ученым советом

экономического факультета

5 февраля 1998 г., пр. № 1

ПРОГРАММА

курса

Математическое моделирование в экономике

(специальность — 060800
Экономика и управление на предприятии СКС)

 

Санкт-Петербург

1 9 9 9

Кафедра высшей математики

 

Авторы-составители:

заведующий кафедрой высшей математики, доктор технических наук, профессор О. С. Селивохин;

доцент кафедры высшей математики, кандидат физико-математических наук, доцент А. М. Махов

 

Под общей редакцией

заведующего кафедрой высшей математики, доктора технических наук, профессора О. С. Селивохина

Пояснительная записка

Программа дисциплины «Математическое моделирование в экономике» адресована студентам III курса экономического факультета, обучающимся по специальности № 060800 «Экономика и управление на предприятии СКС» (квалификация выпускников — экономист-менеджер), и включает перечень тем и разделов, изучаемых в рамках данной дисциплины, план практических занятий, план самостоятельной учебной работы студентов и перечень вопросов к зачету.

Дисциплина «Математическое моделирование в экономике» относится к циклу математических и общих естественнонаучных. Она имеет целью подготовку студентов в области теории, методологии и практики математического моделирования экономических задач. Учебными задачами преподавания дисциплины являются: ознакомление с методами экономического анализа и принципами принятия решений на микро- и макроуровнях; развитие навыков постановки экономических и управленческих задач на современном уровне; умение корректно построить математическую модель и сформулировать задачу ее исследования, применять аналитические и численные методы с привлечением компьютерной техники для решения экономических задач.

Предпосылкой для восприятия данной дисциплины является освоение курсов «Высшая математика», «Математическая статистика», «Информатика», «Общая экономическая теория». Знания, получаемые студентами при изучении данной дисциплины, должны быть использованы в следующих учебных курсах: «Экономика, организация и планирование на предприятии», «Экономический анализ», «Финансовый менеджмент», «Ценообразование», а также в дисциплине по выбору «Коммерческая логистика».

Студенты, успешно изучившие дисциплину «Математическое моделирование в экономике», должны обладать следующими знаниями и умениями:

а) формулировать содержательную, с экономической точки зрения, задачу на описательном уровне;

б) уметь формализовать ее в терминах адекватной математической теории;

в) привлекать необходимые математические методы и получать решение;

г) истолковывать решение в терминах экономики;

д) правильно оценивать соответствие между реальным явлением и его математической моделью.

Согласно учебному плану, по дисциплине «Математическое моделирование в экономике» имеется итоговая форма контроля — зачет в 5-м семестре.

Тематический план

 

содержание тем и разделов

Тема 1. Общая характеристика математического моделирования
в экономике

Понятие о математических методах обоснования оптимальных организационных и управленческих решений в экономике, технике, социальной сфере, политике. Взаимосвязь эвристических и точных методов обоснования решений. Математическое моделирование как метод научного познания сложных явлений взаимодействия человека с окружающей средой. Математическое моделирование в экономике, роль аналитических и компьютерных методов. Основные понятия, связанные с математической моделью и моделированием: операция; управление операцией; решение; показатели качества; критерий оптимальности (целевая функция, показатель эффективности); система ограничений (уравнения связи); допустимые и оптимальные решения; оптимизация. Общий вид оптимизационной задачи. Примеры математической постановки и решения экономических и социальных задач. Классификация моделей математического программирования: линейная, нелинейная; статическая, динамическая; непрерывная, дискретная; детерминированная, стохастическая; одно- и многокритериальная и т. д. Основные подходы к решению задач стохастического программирования: метод последовательных уступок, свертывание критериев, экспертное оценивание. Признаки задачи стохастического программирования, два вида ее постановки: М- и Р-постановка. Характеристика типовых задач анализа, параметрической и структурной оптимизации. Классификация и общая характеристика методов решения задач математического программирования.

Тема 2. Модель «затраты — выпуск» (модель В. Леонтьева)

Балансовая модель (линейная статическая модель). Табличные описания межотраслевых связей. Балансовые уравнения в натуральном и в стоимостном выражении. Матрицы структурных коэффициентов, их экономический смысл. Решение линейных балансовых уравнений методами линейной алгебры. Матрицы Минковского—Леонтьева и разрешимость уравнений балансовой модели. Учет различных способов производства. Определение занятости в производстве и других характеристик балансовой модели. «Сценарный» подход к задаче прогнозирования.

Тема 3. Линейное программирование

Пример задачи оптимального распределения ограниченных производственных ресурсов (задачи оптимизации прибыли, о пищевом рационе, о перевозках, о производстве сложного оборудования). Формулировка задачи линейного программирования. Графическое решение задачи оптимального использования производственных ресурсов. Основная и каноническая формы задачи линейного программирования, представление задачи линейного программирования в той или иной форме. Область допустимых решений, оптимальные решения. Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений. Свободные и базисные переменные. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в частном случае двух свободных переменных. Основные свойства решения задачи линейного программирования. Симплекс-метод. Табличный алгоритм замены базисных переменных. Выбор опорного решения. Определение оптимального решения. Понятие о двойственной задаче. Соотношение между решениями исходной и двойственной задач. Экономическая интерпретация двойственной задачи и ее решения. Задача линейного программирования с варьируемыми параметрами. Чувствительность оптимального значения целевой функции по отношению к изменениям ограничений на располагаемые ресурсы. Понятие о лимитирующих и нелимитирующих ресурсах.

Тема 4. Транспортная задача

Задача о перевозках однородного груза. Формализация транспортной задачи с правильным балансом. Допустимый, опорный и оптимальный планы перевозок. Транспортная таблица и решение транспортной задачи. Построение опорного плана методом «северо-западного угла» транспортной таблицы. Циклические перестановки перевозок в транспортной таблице. Цикл пересчета плана перевозок. Распределительный метод решения транспортной задачи. Решение транспортной задачи методом потенциалов: платежи, свойство системы платежей, условие оптимальности плана. Последовательность операций по решению транспортной задачи методом потенциалов. Примеры решения транспортной задачи посредством преобразования транспортной таблицы и методом потенциалов. Транспортная задача с неправильным балансом. Решение транспортной задачи по критерию времени перевозок методом запрещенных клеток. Приложения транспортной задачи к задачам распределения капиталовложений или финансирования по заданным периодам.

Тема 5. Элементы нелинейного программирования

Классические методы определения экстремума функции двух переменных в неограниченной области определения (задача на безусловный экстремум). Необходимые условия оптимальности. Типы стационарных точек функции двух переменных. Достаточные условия оптимальности. Необходимые условия экстремума функции n переменных. Условия положительной и отрицательной определенности квадратичных форм. Достаточные условия экстремума функции n переменных. Задача на условный экстремум с m ограничениями в форме равенств (задача Лагранжа). Необходимое условие экстремума. Метод Лагранжа. Достаточные условия экстремума в простейшем случае n=2, m=1. Экономический смысл множителей Лагранжа в задачах оптимизации с ограничениями на располагаемые ресурсы (на примерах). Понятие о решении задачи на условный экстремум с ограничениями в форме неравенств.

Литература

Обязательная:

1. Гагин А. А. Исследование эффективности использования производственных ресурсов с помощью методов линейного программирования: Учебно-методическое пособие для студентов экономического факультета. СПб: Изд. СПбГУП, 1993.

2. Губин Н. М., Добронравов А. С., Дорохов Б. С. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи. М.: Радио и связь, 1993.

3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1997. Ч. 1.

4. Махов А. М. Методические указания по выполнению задания «Модель В. Леонтьева. Линейное программирование» для студентов 3-го курса дневного и заочного отделений экономического факультета. СПб.: Изд. СПбГУП, 1999.

5. Махов А. М. Контрольные задания для самостоятельной учебной работы студентов экономического факультета по дисциплине “Математическое моделирование в экономике”. СПб.: Изд. СПбГУП, 1998.

 

 

 

Дополнительная:

1. Ашманов С. А., Тимохов А. В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1991.

2. Данциг Дж. Линейное программирование (его применения и обобщения). М.: Прогресс, 1966.

3. Дегтярев Ю. И. Методы оптимизации. М.: Советское радио, 1980.

4. Ермольев Ю. М. и др. Математические методы исследования операций. Киев: Вища школа, 1979.

5. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.

6. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения). М.: Наука, 1969.

План практических занятий

Практические занятия по дисциплине «Математическое моделирование в экономике» имеют целью и учебной задачей приобретение студентами опыта применения аналитических и численных методов математического моделирования, излагаемых в теоретической части дисциплины, для решения конкретных экономических задач.

 

Занятие 1. Общая характеристика математического моделирования в экономике.

1) Примеры задач экономико-математического моделирования.

2) Стадия формализации экономической ситуации в математическую модель.

Указание: обратить внимание на экономический смысл входящих в математическую модель величин и выражений.

Литература для самостоятельного изучения — [2], глава 1; [4].

Занятие 2. Модель «затраты — выпуск».

1) Формулировка открытой статической задачи 2х2.

2) Решение задачи средствами линейной алгебры.

3) Решение задачи методом разложения в матричный ряд.

Указание: обратить внимание на экономический смысл структурных коэффициентов.

Литература для самостоятельного изучения — [2], глава 2; [4].

Занятие 3. Модель «затраты — выпуск».

1) Формулировка открытой статической задачи 3х3.

2) Решение задачи средствами линейной алгебры.

3) Решение задачи методом разложения в матричный ряд.

Указание: обратить внимание на экономический смысл структурных коэффициентов.

Литература для самостоятельного изучения — [2], глава 2; [4].

Занятие 4. Линейное программирование.

1) Постановка прямой задачи о распределении неоднородных ресурсов 3х3 и двойственной к ней.

2) Сведение прямой задачи к задаче 2х3.

Указание: экономический смысл целевой функции и ограничений обеих задач.

Литература для самостоятельного изучения — [1], пункты 3, 4; [4].

Занятие 5. Линейное программирование.

1) Построение многогранника допустимых планов задачи предыдущего занятия.

2) Решение задачи методом перебора.

3) Решение задачи графическим методом.

Указание: обратить внимание на свойства МДП.

Литература для самостоятельного изучения — [1], пункты 3, 4; [4].

Занятие 6. Линейное программирование.

1) Постановка задачи исследования эффективности вовлечения дополнительных ресурсов.

2) Решение задачи графическим методом.

Указание: обратить внимание на закон невозрастающей эффективности.

Литература для самостоятельного изучения — [1], пункт 6; [4].

Занятие 7. Линейное программирование.

Решение задачи предыдущего занятия симплекс-методом.

Указание: обратить внимание на наличие только двух правил вычисления данных симплекс-таблицы следующей итерации — для разрешающей строки и для всех остальных строк.

Литература для самостоятельного изучения: [2], глава 10, § 3; [1], пункты 8, 9; [4].

Занятия 8, 9. Линейное программирование.

Решение задачи занятия № 3 симплекс-методом.

Указание: обратить внимание на наличие только двух правил вычисления данных симплекс-таблицы следующей итерации — для разрешающей строки и для всех остальных строк.

Литература для самостоятельного изучения: [2], глава 10, § 3; [1], пункты 8, 9; [4].

Занятие 10. Линейное программирование.

1) Постановка экономической задачи, двойственной к задаче занятия № 3.

2) Связь решения двойственной задачи и симплекс-таблицы предыдущего занятия.

3) Демонстрация чувствительности решения к изменению объемов лимитирующих и нелимитирующих ресурсов.

Указание: обратить внимание на экономический смысл целевой функции и ограничений двойственной задачи.

Литература для самостоятельного изучения: [2], глава 10, § 5, 6; [4], пункты 7, 2.

Занятие 11. Транспортная задача.

1) Формулировка закрытой задачи 3x3.

2) Построение опорного плана методами СЗ-угла и наименьшего элемента.

3) Решение задачи методом потенциалов.

Указание: обратить внимание на разрешимость системы уравнений для потенциалов и критерий оптимальности решения.

Литература для самостоятельного изучения: [2], глава 13, § 1—6; [3], глава XI, § 5.

Занятие 12. Транспортная задача.

1) Формулировка открытой задачи 3x4.

2) Построение опорного плана методами СЗ-угла и наименьшего элемента.

3) Решение задачи методом потенциалов.

Указание: обратить внимание на разрешимость системы уравнений для потенциалов и критерий оптимальности решения.

Литература для самостоятельного изучения: [2], глава 13, § 1—6; [3], глава XI, § 5.

Занятие 13. Элементы нелинейного программирования.

1) Постановка задачи нелинейного программирования.

2) Поиск экстремума внутри множества допустимых планов с помощью необходимого и достаточного критериев существования экстремумов функции многих переменных.

3) Поиск экстремума методом понижения размерности задачи.

Литература для самостоятельного изучения — [2], главы 3, 8; [3], глава VIII, § 4.

Занятие 14. Элементы нелинейного программирования.

1) Поиск экстремума на границе для задачи предыдущего занятия методом Лагранжа.

Указание: обратить внимание на экономический смысл двойственных оценок.

Литература для самостоятельного изучения — [2], главы 3, 8; [3], глава VIII, § 4.

План самостоятельной учебной работы студентов

Самостоятельная учебная работа студентов над дисциплиной «Математическое моделирование в экономике» имеет целью и учебной задачей приобретение студентами навыков в области применения компьютерной техники для решения экономических задач методами математического моделирования.

Занятия проводятся в компьютерном классе экономического факультета.

Занятие 1. Модель «затраты — выпуск».

Выполнение первого задания из [1] под руководством преподавателя, ведущего практические занятия. Файл примера выполнения в пакете MathCad — Balance. MCD находится на сетевом сервере в каталоге ММЕ.

Занятия 2, 3. Линейное программирование.

Выполнение второго задания из [1] под руководством преподавателя, ведущего практические занятия. Файл примера выполнения в ЭТ Excel — LinProgr.xls находится на сетевом сервере в каталоге ММЕ.

Занятие 4. Элементы нелинейного программирования.

1) Постановка индивидуальной задачи нелинейного программирования.

2) Решение задачи методом Лагранжа.

Указание: обратить внимание на экономический смысл двойственных оценок.

Литература для самостоятельного изучения — [3], глава VIII, § 4.

Вопросы к зачету

1. Что такое математическая модель и математическое моделирование?

2. Основные понятия, связанные с математическим моделированием (операция, управление операцией, решение, показатель качества, критерий оптимальности).

3. Допустимые решения, оптимизация, оптимальное решение.

4. Классификация математических моделей.

5. Линейная балансовая модель. Смысл коэффициентов прямых материальных затрат.

6. Балансовые уравнения в стоимостном выражении.

7. Уравнения баланса цен.

8. Табличное описание межотраслевых связей.

9. Решение линейных балансовых уравнений методами линейной алгебры.

10. Характеристика коэффициентов совокупного потребления.

11. Разрешимость уравнений балансовой модели.

12. Балансовые уравнения с учетом различных способов производства.

13. Определение показателей занятости, затрат ресурсов и других характеристик балансовой модели.

14. Постановка задачи линейного программирования (на примерах).

15. Графическое решение задачи линейного программирования с двумя переменными.

16. Переход от исходной к основной задаче линейного программирования и обратно.

17. Допустимые и оптимальные решения. Область допустимых решений.

18. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух свободных переменных.

19. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.

20. Двойственная задача линейного программирования. Соотношения между решениями исходной и двойственной задач.

21. Экономическая интерпретация двойственной задачи и ее решения.

22. Параметрическая задача линейного программирования. Чувствительность оптимального значения целевой функции по отношению к ограничениям на ресурсы. Лимитирующие и нелимитирующие ресурсы.

23. Транспортная задача с правильным балансом по критерию стоимости перевозок.

24. Допустимый, опорный и оптимальный планы транспортной задачи. Транспортная таблица.

25. Решение транспортной задачи распределительным методом.

26. Метод потенциалов решения транспортной задачи.

27. Транспортная задача с неправильным балансом.

28. Задача на безусловный экстремум. Необходимые условия оптимальности.

29. Типы стационарных точек функции двух переменных.

30. Достаточные условия экстремума функции n переменных.

31. Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум с ограничениями в форме равенств.

32. Достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа в случае n=2, m=1. Экономический смысл множителя Лагранжа.

 

Редактор И. А. Гусева

Технический редактор Л. В. Климкович

Корректор Н. А. Бобкова

© СПбГУП, 1999