Санкт-Петербургский Гуманитарный университет профсоюзов

Утверждено

на заседании кафедры

высшей математики

27 января 1998 г.

Протокол № 6

Контрольные задания для самостоятельной учебной работы студентов экономического факультета СПбГУП

по дисциплине

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

 

 (специальность - 060800 Экономика и управление на предприятии СКС)

 

Санкт-Петербург

1998

Кафедра высшей математики

Составитель

кандидат физико-математических наук, доцент А. М. Махов

Под редакцией заведующего кафедрой высшей математики, доктора технических наук, профессора О. С. Селивохина

 

 Пояснительная записка.

 

     Согласно программе дисциплины “Математическое моделирование в экономике” студенты должны выполнить индивидуальное домашнее задание. Оно состоит из двух частей: расчёта баланса в модели Леонтьева и решения задачи линейного программирования.

Первое задание может быть выполнено в электронном виде с использованием приложения MS Excel (файл примера Balance.mcd) или MathCad (файл примера Balance.xls), а второе – с использованием приложения MS Excel (файл примера выполнения Linprogr.xls, шаблон, автоматически заполняющий исходные данные – LinPr.xls).

Задание 1.  Модель “затраты- выпуск” (модель В.Леонтьева).

1. Индивидуальное задание.

Произвести расчёт баланса в модели Леонтьева для четырёх- отраслевого народного хозяйства. Матрица структурных коэффициентов должна быть получена каждым студентом самостоятельно из порядковых номеров букв его фамилии и инициалов. Полученными числами необходимо построчно заполнить матрицу (4 x 4), а затем разделить каждый элемент матрицы на 200. Порядковые номера букв можно определить из следующей таблицы:

 

Пример построения матрицы структурных коэффициентов для Сидорова И. П.:

Для определенности нужно считать в полученной матрице первую отрасль клубным делом, оказывающим досуговые услуги; вторую отрасль — туризмом, предоставляющим туры; третью отрасль — кино-видеоиндустрией, производящей фильмы; четвёртую — рекламной индустрией, оказывающей рекламные услуги (объемы всех этих услуг измеряется в натуральных единицах).

Вектор годового объёма конечного потребления получается также из фамилии студента, но его элементы умножаются на 100000, 10000, 10000, 1000000, соответственно. Пример построения вектора конечного потребления для Сидорова И. П.:

Вектор объёма трудозатрат на единицу продукции и стоимость человекочаса одинаковы для всех  и, соответственно, равны: человекочасов на единицу продукции, w=$5.

В рассматриваемом обществе действует 40 часовая рабочая неделя, 4 недели в году – отпуск.

2. Порядок выполнения работы

1.                                  составить уравнения межотраслевого баланса в натуральном выражении;

2.                                  пояснить экономический смысл всех структурных коэффициентов a_ij;

3.                                  найти матрицу (Е-А)^-1;

4.                                  найти вектор полного объема производства и  вектор цен;

5.                                  найти полный объём трудозатрат и численность занятых в производстве;

6.                                  составить отчёт, содержащий результаты выполнения пунктов 1 - 5.

Задание 2. Линейное программирование.

1. Индивидуальное задание.

Решить задачу линейного программирования (задачу о распределении неоднородных ресурсов), ответив на следующие вопросы:

1. При каких объёмах использования 3-х процессов получения прибыли (x₁ , x₂ , x_3.), в которых используются 3 вида ресурсов с известными предельными запасами этих ресурсов (b₁ , b₂ , b_3.), прибыль будет максимальна, если расход каждого ресурса и величина прибыли в каждом из процессов линейно зависят от x_i для этого процесса. Для определённости под используемыми процессами получения прибыли будем понимать производство трёх видов  продукции, под объёмом x_i этих процессов будем понимать количество произведённой продукции соответствующего типа.

2. Как будет меняться оптимальный план при изменении b₂ - величины запаса второго ресурса.

3. При каких наименьших ценах на единицу ресурса будет не выгодно дальнейшее расширение производства за счёт приобретения новых объёмов дефицитных ресурсов.

Величины запасов и цен ресурсов, нормы расхода ресурсов и выручка в каждом из процессов должны быть получена каждым студентом самостоятельно из приведенной ниже таблицы и порядковых номеров букв его инициалов, первой буквы фамилии (аналогично заданию №1) и последней цифры номера зачётной книжки (если она равна 0, то берется число 10).

Для получения конкретного варианта необходимо числа столбца первой продукции умножить на номер первой буквы имени студента; числа столбца второй — на номер первой буквы отчества студента (№О); числа столбца третьей — на номер первой буквы фамилии студента (№Ф). Первое число столбца объёмов ресурсов есть произведение числа номера зачётки (№З) и суммы №О, умноженного на 1200, с №Ф, умноженным на 800. Аналогично, второе число — №З умножить на (2400 №О + 800 №Ф); третье — №З умножить на (1500 №О + 2000 №Ф).

Пример получения конкретного варианта для И.П.Сидорова с зачётной книжкой ДЭ98/63: множители для столбцов продукции – 10, 17, 19, соответственно; №О равен 17, №Ф – 19, число номера зачётки №З – 3. Результат:

2. Порядок выполнения работы

1.     Получить таблицу с числами своего индивидуального варианта задания и сформулировать для него математически формализованную прямую задачу линейного программирования;

2.     Произвести исследование модели с помощью дифференциальных коэффициентов ресурсоотдачи для понижения размерности задачи;

3.     Произвести решение задачи пониженной размерности графическим методом: построить многогранник допустимых планов и найти оптимальный план методом линий постоянного уровня или градиентным методом с обязательным чертежом, найти прибыль для оптимального плана;

4.     Графическим методом исследовать, как будет меняться оптимальный план при изменении величины запаса второго ресурса. Построить график зависимости прибыли и приростного коэффициента эффективности вовлечения второго ресурса от величины b₂.

5.     Решить полную исходную задачу симплекс- методом.

6.     Для ответа на третий вопрос задания сформулировать задачу линейного программирования, двойственную к исходной, получить её решение из пункта 5) и дать экономическую интерпретацию переменных и ограничений двойственной задачи. Сравнить приростной коэффициент эффективности вовлечения второго ресурса из пункта 4) со значением двойственной оценки этого ресурса.

7.     Составить отчёт, содержащий результаты выполнения пунктов 1 - 6.

Рекомендуемая литература.

 Основная:

1.     Гагин А.А. Исследование эффективности использования производственных ресурсов с помощью методов линейного программирования. Учебно- методическое пособие для студентов экономического факультета. СПб.: Изд. СПбГУП. 1993. - 78 с.

2.     Махов А.М. Методические указания по выполнению задания  "Модель В.Леонтьева. Линейное программирование" для студентов 3-го курса дневного и заочного отделений Экономического факультета. СПб.: Изд. СПбГУП. 1998. – 56 с.

3.     Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. Экономико- математические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи. . М.: “Радио и связь”. 1993. - 376 с .

4.     Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в   упражнениях и задачах. М.”Высшая школа”. ч.1. -320 с.    

5.     Махов А.М. Электронная гипермедийная версия методических указаний по выполнению задания  "Модель В.Леонтьева. Линейное программирование" для студентов 3-го курса дневного и заочного отделений Экономического факультета.  СПб.: 1998. Доступна в специализированном компьютерном классе на сетевом сервере в каталоге MME.

Дополнительная:

1.                                    Дегтярёв Ю.И. Методы оптимизации. М.: “Советское радио”. 1980. -   272 с.

2.                                    Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука. 1980. -  256 с.

3.                                    Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г.  Линейное программирование (теория, методы и приложения). М.: Наука. 1969. -  424 с.

4.                                    Данциг Дж. Линейное программирование (его применения и обобщения). М.: “Прогресс”. 1966. -  600 с.

5.                                    Ермольев Ю.М. и др. Математические методы исследования операций. Киев. “Вища школа”. 1979. - 312 с.

6.                                    Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука. 1991. -  448 с.

 

Редактор Н. Б. Петрова

Компьютерная верстка Л. В. Климкович

Корректор Е. В.Карасева

© СПбГУП, 1998