ВВЕДЕНИЕ

Проблема неплатежей в российской экономике существует по- прежнему, хотя, уже на протяжении ряда лет, происходят попытки её решения на государственном уровне. С этой проблемой связана задача о взаимозачётах, сформулированная и решённая на базе нелинейных критериев в [6-8].

Рассмотрим её формулировку из [6]: имеется N равноправных экономических агентов, связанных кредитно- долговыми обязательствами и являющихся неделимыми элементами множества À. Величины долга j- го агента i– му образуют квадратную матрицу взаимных долгов Х=(х_ij)_N_´_n, причём х_ij=-х_ji, что означает, что взаимные долги каждой пара агентов уже зачтены (х_ij<0 означает, что j–й агент – кредитор i–го). Система долгов закрытая, т.е. существует баланс между долгами и кредитами: В матрице Х отсутствуют внешние долги и кредиты всех элементов множества À. Необходимо произвести взаимозачёт, т.е. уменьшить величину долгов предприятий так, чтобы баланс долгов каждого агента [7] (вектор сальдо s, где s_i– сальдо i– го предприятия) не изменился. Величины долга j- го агента i–му после взаимозачёта образуют матрицу Z=(z_ij)_N_´_N, обладающую теми же свойствами, что и Х.

АНАЛИЗ ОГРАНИЧЕНИЙ

Рассмотрим, для начала, ограничения этой задачи: По значению сальдо множество À разбивается на три непересекающихся подмножества: À₀, À₊, À_- . À₀ – множество агентов с закрытым балансом (с нулевым сальдо) из N₀элементов, À₊– множество кредиторов (с положительным сальдо) из m элементов, À_-– множество должников (с отрицательным сальдо) из n элементов. Очевидно, что при проведении глобального взаимозачёта в формализованном подходе, не учитывающем причин возникновения конкретных долговых обязательств, все агенты из À₀ должны в матрице Z иметь нулевые элементы, кредиторы – только неположительные, должники – только неотрицательные. Эта ситуация соответствует “идеальному” решению из [7,8], не обязательно достижимому, как показано в этих работах, с использованием нелинейных и квадратичных критериев. Из вышесказанного очевидно, что процедура формального взаимозачёта должна приводить к новой неотрицательной матрице чистых долгов Z, отличной от введённой в [6-8] тем, что она содержит именно долги, и z_ij=0, если что j–й агент – кредитор i–го. Эта матрица удовлетворяет следующим условиям -

использование такого определения матрицы взаимозачётов, по сравнению с ранее введёнными, более удобно, так как она отвечает на вопрос: «Кто из должников и какому кредитору сколько теперь должен?». Условия последней строки (1) показывают, что в искомой матрице может быть лишь n´m ненулевых элементов, более того, ограничения двух первых строк указывают, что мы имеем дело с задачей, эквивалентной по ограничениям транспортной задаче, что, кстати, очевидно из постановочной части. Т.о., перенумеровав должников индексом i (i=1,…n), а кредиторов – индексом j (j=1,…m), можно ввести новую прямоугольную матрицу долгов размера n´m Y=(y_ij)_n_´_m, содержащую долги экономических агентов из À_- кредиторам из À₊ , удовлетворяющую следующим ограничениям:

Hа этом анализ ограничений исходной задачи можно завершить.

АНАЛИЗ КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Рассмотрим теперь критерий оптимальности анализируемой задачи. Предложенные в [7,8] для решения задачи о взаимозачётах нелинейные и квадратичные критерии, как отмечено в этих работах, не гарантируют получение решения, допустимого системой (1). С другой стороны, в [7] под сомнение поставлена возможность использования линейных критериев при решении этой задачи. Предложенная в [8] процедура линейного раскроя вообще не содержит критерия оптимальности и нацелена на построение любого опорного для (2) решения. Забегая вперёд, отмечу, что она напрямую следует как раз из линейного критерия транспортной задачи - суммы переменной ограничений (2) по всем индексам без коэффициентов. выскажу также некоторые соображения по предложенным в [6,7] критериям.

1. Веса, использованные в [6,7], скорее всего должны характеризовать возможность выплат, значит, должны быть связаны с платёжеспособностью, что не всегда связано с остатками на счетах. Также не совсем ясно, почему крупные предприятия с большой суммарной оценкой основных и оборотных фондов менее важны, чем малые предприятия. Более подробно экономическая сторона вопроса будет рассмотрена здесь в последнем пункте.

2. Оценка точности предложенного в [7] алгоритма на базе компьютерного эксперимента для случая N=5 выглядит весьма неубедительно, кроме того, как следует из [8], в данной задаче существует легко получаемое точное решение –опорный план транспортной задачи, содержащий не более чем n+m-1 ненулевых долгов [13], причём именно он строится в [8] весьма оригинальным способом линейного раскроя. С точки зрения построения этим методом опорного решения (2) предложенная в [8] процедура упорядочения счетов клиентов с точки зрения их близости друг- другу кажется наиболее пригодной.

В связи с тем, что все рассмотренные ранее критерии не позволяют получить план, удовлетворяющий ограничениям (1) или (2), возникает необходимость переформулировать критерий оптимальности. При этом кажется достаточно очевидным, что дальнейшие рассуждения должны производится в рамках ограничений (2). Так как при проведении взаиморасчётов между предприятиями после зачёта долгов этим предприятиям не важна величина конкретного долга (всё равно их сумма даёт сальдо предприятия до взаимозачёта), то единственное, что здесь можно оптимизировать, это провести уменьшение общего количества долговых обязательств после взаимозачёта, то- есть минимизировать число ненулевых элементов в матрице Y. Это же требование, по формальным признакам, должно предъявляться к взаимозачёту и со стороны банковской системы, для уменьшения количества обрабатываемых переводов. Этот вопрос также более подробно будет рассмотрен здесь в последнем пункте. Оставаясь теперь на позициях формальной процедуры взаимозачёта, и производя попытки формализации предложенного выше критерия, можно обнаружить, что в переменных y_ij он оказывается существенно нелинейным. логичным оказывается формализация критерия с помощью булевых переменных. Введём их: d_ij=1, если i-ый должник должен j-му кредитору после взаимозачёта, и d_ij=0, если нет. В этих переменных наш критерий формализуется естественным образом, и мы получаем следующую задачу:

Эта задача имеет существенный недостаток: каждое её решение характеризуется двоичной и действительной неотрицательной матрицами одновременно. Она близка по постановке к распределительной задаче [12,13], её можно свести к задаче на графе о выборе минимального из максимальных паросочетаний [2]. По своей сути задача (3) – поиск самого вырожденного опорного плана [13] в ограничениях (2). очевидно, что решение её – явный перебор вариантов, может быть, с использованием фильтра. Покажем это. Попытаемся свести её к задаче только с булевыми переменными, то- есть переформулировать ограничения. Интуитивно это:

Докажем эквивалентность постановок (3) и (4):

1. Критерии оптимальности (3) и (4) идентичны.

2. Множество допустимых планов задачи (3) по булевой переменной совпадает с МДП задачи (4), т.к.:

а) все допустимые решения (3), очевидно, являются допустимые решениями (4), поскольку величина любого долга данного должника не может превысить абсолютной величины сальдо этого должника, и величина любого кредита данного кредитора не может превысить сальдо этого кредитора.

б) Любое допустимое решение (4) порождает как минимум один вариант такого Y, что ограничения (2) будут выполнены. Это верно по следствию для двудольных графов из общеизвестной теоремы о спросе и предложении (см., например, [14], следствие 2.3 из теоремы 2.1 Главы II).

3. По найденной булевой матрице задачи (4) всегда можно построить искомую матрицу долгов Y, пользуясь следующим правилом, подобным методу “северо- западного угла”: заполнение Y начинается с той строки или столбца, которые в булевой матрице содержат единственный ненулевой элемент (очевидно [13], что по свойству опорных планов транспортной задачи такой всегда найдётся), и продолжается согласно этому же правилу до получения полного решения.

На этом доказательство эквивалентности закончено. Этим доказана следующая Теорема: в задаче о взаимозачётах постановки (3) и (4) эквивалентны. Теперь очевидно, что исходная задача – задача с булевыми переменными, и подлежит решению методом перебора с фильтром в том случае, когда требуется найти её оптимальное решение (в следующем пункте будет показано, что это не обязательно).

О ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТИ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Как известно из общей теории транспортной задачи [13], все её опорные планы содержат не более n+m-1 ненулевых элементов, и именно среди них производится поиск оптимального для задачи (4). При этом очевидно, что только в специальном случае вырождения планов возможно уменьшение оптимального значения критерия (4) ниже n+m-1. Это случай, когда À₊, À_-разбиты на подмножества, взаимно однозначно сопоставленные друг- другу и друг- друга точно покрывающие. Возможна и более специальная ситуация, когда оптимальное значение критерия достигает своего наименьшего значения М(d)=max(n,m)=М₀. Это случай, в котором одно из множеств À₊, À_-целиком состоит из элементов, точно покрывающих все непересекающиеся подмножества другого, взаимно однозначно им сопоставленные. Однако в реальной задаче ожидать ситуацию подобного вырождения не приходится. Ориентируясь на М₀, как на минимальное для критерия (4), можно оценить, что оптимальное решение отличается от любого допустимого не более чем в 2 раза, а процедура поиска этого оптимального решения по объёму вычислений в методах перебора с фильтром может быть близка к 4(n+m-1)2^nm (верхняя оценка). Очевидно предположении о нерациональности поиска оптимального решения при больших n и m. Тогда в качестве разумного приближения можно выбрать любое опорное решение (2), что интуитивно и было сделано в [8]. На этом анализ формальной стороны задачи о взаимозачётах можно закончить.

О КОРРЕКТНОСТИ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ В РЕАЛЬНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИТУАЦИИ

Рассматривая экономическую сторону проблемы взаимозачётов, я не могу опираться на строгую доказательную базу, как в предыдущих пунктах настоящей работы. Косвенным подтверждением всех последующих положений может являться тот факт, что с момента опубликования в начале 1995 г. работ [2-4], проведённых при поддержке основного представителя банковских структур России, ни сам кризис неплатежей, ни причины, его породившие, так и не устранены до времени написания первого варианта настоящей работы - середины 1998 г. Более того, повторный ценовой скачёк августа 1998 г. , являющийся следствием гиперинфляции 1991- 95 г.г. [9] и вызванный политическим кризисом, ещё более усугубил эту проблему.

Первое, что бросается в глаза при рассмотрении экономической стороны кризиса неплатежей и возможности практической реализации полученной при решении формальной задачи предыдущих пунктов структуры долговых обязательств, это не равноценность долгов по их происхождению и возможности выплаты, а также наличие в системе выделенного должника – государства. Касаясь не равноценности долгов по их происхождению, можно разделить их на три группы. Первая – предприятия, попавшие в должники из-за невыполнения государством своих финансовых обязательств перед ними. Вторая – предприятия, имеющие долги из-за нерационального управления в условиях общего экономического кризиса [3,11] и гиперинфляции 1991-95 гг. Третья – подмножество второй – предприятия, руководство которых сознательно доводило их до банкротства с целью локального передела собственности [10]. Реально большинство должников относятся к этим трём группам одновременно, и разделить точно по этим группам можно было бы только конкретные их долговые обязательства, да и то после соответствующих длительных мероприятий соответствующих государственных служб, работу которых в настоящее время нельзя назвать эффективной. Однако отношение внутри самих предприятий к этим долговым обязательствам совершенно различно и часть таких обязательств должники неявно не считают нужным оплачивать. При этом широко известна процедура ухода от кризиса неплатежей, уже длительное время с успехом применяемая в российской, а до того в советской экономике – это использование при взаиморасчётах неучтённых наличных средств, что, кстати, помогает и в ситуации завышенного уровня налогов [1,4]. Касаясь не равноценности долгов по возможности выплаты, можно разделить должников на три группы. Первая – безнадёжные должники, основных и оборотных средств которых не хватит для покрытия отрицательного сальдо. Если таковые до сих пор не подвергнуты процедуре банкротства, то это либо следствие необходимости этого предприятия, а тогда их долги могли бы быть частично погашены заинтересованными в них структурами, либо признак несовершенства рыночных институтов [5], в первую очередь юридических. При банкротстве таких предприятий придётся производить переоценку их долгов по результатам ликвидации, что означает уменьшение суммы всех долгов, в том числе и долгов платёжеспособных предприятий, а с этим вряд- ли согласятся их кредиторы, и, в первую очередь, основной должник – государство, являющееся также и “кредитором” в части не собирания налогов. Таким образом, в действительности в матрице Х исходной задачи есть не зачтённые взаимные долги между некоторыми парами агентов, а множество À содержит неравноправные элементы. Вторая – должники, платёжеспособные при банкротстве, основных и оборотных средств которых хватит для покрытия отрицательного сальдо. Они слабо отличаются от первых с точки зрения экономического положения, но их банкротство не требует перенормировок всей структуры долгов. Третья группа – платёжеспособные должники, для покрытия отрицательного сальдо которых достаточно их оборотных средств. Им взаимозачёт не выгоден в принципе, так как после этой процедуры долги, возможно, придётся выплатить. Очевидно, что подмножеству À_-процедура взаимозачёта не выгодна в принципе. Замечу также, что процедура взаимозачёта невыгодна и банковской системе, так как именно кризис неплатежей в значительной мере породил (либо был спровоцирован – аналогия с [10]) рынок краткосрочных кредитов. Кроме всех перечисленных несоответствий реальной и формализованной в [6-8] задач, необходимо, конечно, отметить и основную: процедура проведения банкротства даже одного предприятия не сравнима по затратам любых ресурсов с процедурой решения любой математически- формализованной задачи. Здесь можно также вспомнить, что логичная, в общем, процедура использования векселей для решения этой задачи в значительной степени потерпела неудачу именно в силу перечисленных здесь причин. Реальное решение этой проблемы лежит не в математической, а в практических юридической и экономической сферах [1,3-5,10,11], и будет, по всей видимости, довольно длительным, и происходить оно будет, возможно, ставшими уже традиционными методами “спонтанной приватизации” [10], если, конечно, не произойдёт централизованного решения проблемы со стороны выделенного должника – государства – в целях решения бюджетного кризиса. Причём последние события (после августа 1998 г.) делают этот путь весьма вероятным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Балацкий Е.В. Инфляционные налоги и экономический рост. // ЭММ. 1997, т.33, №3, Сс. 43-58.

2. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука. 1974. – 368 с. (R. G. Busacker, T. L. Saaty. Finite graphs and networks: An introduction with applications. Mc Craw- Hill Book Co. NY, ets., 1965).

3. Варшавский А.В., Грубман А.С., Железнякова Л.Г. Экономические реформы и изменение технического уровня отраслей. // ЭММ. 1996, т.32, №1, Сс. 38-53.

4. Егорова Е.Н., Петров Ю.А. Оценка полной ставки налогообложения добавленной стоимости в России и зарубежных странах. // ЭММ. 1996, т.32, №2, Сс. 38-48.

5. Интриллигатор М. Реформа российской экономики: роль институтов. // ЭММ. 1997, т.33, №3, Сс. 16-26.

6. Калиткин Н.Н. Оптимальный взаимозачёт долгов предприятий. // Математическое моделирование. 1995, т.7, №1, Сс. 11-21.

7. Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В. О зачёте взаимных долгов предприятий. // Математическое моделирование. 1995, т.7, №4, Сс. 64-72.

8. Калиткин Н.Н., Михайлов А.П. Идеальное решение задачи зачёта взаимных долгов. // Математическое моделирование. 1995, т.7, №6, Сс. 111-117.

9. Махов А.М. Теория катастроф и гиперинфляция в России 9-х годов. // Вопросы статистики. 1998, №9, Сс. 23-26.

10. Полищук Л.И. Экономическая эффективность и присвоение ренты: анализ спонтанной приватизации. // ЭММ. 1996, т.32, №2, Сс. 5-24.

11. Полтерович В.М. Трансформационный спад в России. // ЭММ. 1996, т.32, №2, Сс. 54-69.

12. Юдин Д.Б., Гольдштейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования. М.: Советское радио. 1964. - 738 с.

13. Юдин Д.Б., Гольдштейн Е.Г. Задачи линейного программирования транспортного типа. М.: Наука. 1969. - 384 с.

14. Форд Л., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. М.: Мир. 1966 (L. R. Ford, D. R. Fulkerson. Flows in Networks. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1962).