*Настоящая работа является полной окончательной версией краткой предварительной публикации [1].

    Изменившиеся в последние годы в России условия функционирования экономических объектов, появление жесткой конкуренции во многих сферах экономической деятельности, в том числе и на рынке труда, приводят к необходимости модификации структуры вузовской подготовки специалистов экономических и управленческих специальностей. Появление на российском рынке большого количества различных компаний и конкурентная борьба между ними требуют от менеджеров и экономистов этих предприятий знания основ теории принятия экономически - обоснованных оптимальных решений и уммения применять их на практике. Это следует из общеизвестного факта стихийного стремления всякого рынка к состоянию равновесия, которое обеспечивает максимальные выигрыши (минимальные проигрыши) всем участникам рынка, придерживающимся правильных (оптимальных) стратегий. Но в случае равновесного в течение некоторого периода времени рынка эти выигрыши (прибыли) будут уменьшаться из-за наличия конкуренции. Это приведёт к уходу с рынка компаний, не придерживающихся (в том числе и по причине некомпетентности персонала в вопросе планирования экономической деятельности) вышеупомянутых оптимальных стратегий.
    В прошлом, да и теперь, теория исследования операций и экономическая кибернетика (разделы математики, посвящённые методам поиска способов оптимального управления) преподавались в основном студентам специальностей “Прикладная математика” и “Экономическая кибернетика”, причём уровень абстракции излагаемого в этих курсах материала таков, что его применение в каких-либо конкретных экономических ситуациях весьма затруднено (см., например [2-16]). В настоящее время изменившиеся условия хозяйственной деятельности приводит к необходимости подготовки специалистов с расширенной, по сравнению с принятой в СССР, базой знаний. Причина этого – в стремлении к эффективному использованию штатов любой коммерческой организацией, а значит, в ограничении возможности узкой специализации любого специалиста в пользу большей его универсальности без потери профессионального уровня. Для этого необходима глобальная гуманитаризация всего учебного процесса в вузах. Она не должна быть всеобщим упрощением материала до уровня, который согласны воспринимать основные массы обучаемых. Напротив, необходимо введение в формируемую у студентов базу знаний целого набора естественнонаучных положений, без знания которых невозможна самостоятельная ориентация выпускников в динамично развивающихся и всё глубже проникающих во все сферы деятельности новых технологиях. При этом должны быть найдены такие формы изложения технических и естественно - научных знаний, которые не сводились бы к простому обзору, как это часто происходит в настоящее время, а знакомили бы будущего специалиста с основами применяемых в его предметной области современных технологий на уровне, достаточном для понимания будущих модификаций известных и возможности самостоятельного профессионального использования будущих технологий.
    Таким образом, в настоящее время существует задача приближения основных результатов вышеупомянутых разделов математики к конкретным экономическим ситуациям и формулировка их в виде, пригодном к использованию рядовыми экономистами- выпускниками в их профессиональной деятельности в случае необходимости.
    Эта задача разбивается на две составляющие. Во- первых это разработка практического курса экономических приложений теории исследования операций ( то- есть задачника с набором конкретных экономических ситуаций, требующих при поиске решения использования вышеупомянутого аппарата ). Во- вторых, необходимо приближение теоретического курса к системе понятий, принятой в экономических науках, изложение его (по возможности) на простых примерах из экономической деятельности с целью перехода к аппарату теории исследования операций достаточно очевидными для специалиста в области экономики путями. Первая подзадача решается в работах [17-20]; вторая в [21,22] и не слишком удачных [23,24]. В данном случае необходимо отметить разницу в подходах к практической части курса в зарубежных и отечественных публикациях. В англоязычной литературе в публикациях достаточно серьезного теоретического уровня [25-36] многие авторы много места отводят разбору конкретных примеров [27,30,31,35], что, безусловно, облегчает понимание материала читателем – экономистом. С другой стороны, в русскоязычной литературе присутствует традиционное разделение учебников на две части – теоретическую и практическую, причем уровень абстракции в теоретической учебной литературе чрезвычайно высок. Поэтому вторая из вышеназванных подзадач оказывается чрезвычайно актуальной и, в то же время, более сложной, так как требует при своём решении согласования личных интересов высококвалифицированных носителей теоретических знаний в области экономики и математики, что, как показывает опыт, в настоящее время в России оказывается весьма проблематичным. Иной путь - участие квалифицированных специалистов широкого профиля, которые в течение ряда лет производят корректировку читаемого материала исходя из реакции слушателей. Данный путь, как мне кажется, является более приемлемым, так как базируется на отклике непосредственных потребителей излагаемого материала. Именно этот путь применялся в течение последних лет в СПбГУП при модификации читаемого студентам Экономического факультета курса “Экономико-математические методы и модели”. При этом решались как вторая, так и первая вышеупомянутые подзадачи [18-20].
    Заметное место в этом курсе занимало изложение теории линейного программирования, которая, как известно (см., например,[12]), рассматривает две взаимосвязанных задачи - прямую и двойственную. И если прямая задача линейного программирования может быть индуктивно поставлена [12,15,19,23-26] на достаточно очевидном примере формирования оптимальной программы расхода неоднородных ресурсов (или любой родственной ей [15,21,22,27]), то при постановке двойственной к ней возникает целый ряд сложностей. Так, в ряде работ [8,12,15,19,24,25,30,32,34,35] принята процедура дедуктивной формулировки задачи, двойственной к исходной. Двойственная задача получена как следствие математической теории двойственности без наполнения всех условий задачи реальным экономическим содержанием. Это приводит к неприятию слушателями и такого обязательного к усвоению теоретического результата, как экономический смысл двойственных (объективно обусловленных [21,22]) оценок ресурсов (факторов производства). Этот факт является, по существу, историческим. Сложность восприятия смысла двойственных оценок породила неоднократное его обсуждение как со стороны основоположников этой теории [21,22,26,27,30], так и со стороны экономистов [37] ( впрочем, история линейного программирования не является объектом рассмотрения настоящей работы и достаточно подробно изложена, например, в [21,22,27,38]). К сожалению, вышеописанная ситуация ещё более усугубляется тем, что во многих работах экономические приложения двойственной задачи [7,14,17,31], а в некоторых случаях [2-6,9,11,13,16,33,36] и вообще экономические приложения теории исследования операций, не рассматриваются.
    Таким образом, возникает задача доступной для понимания слушателей формулировки двойственной задачи на каком-либо (желательно связанном с постановкой прямой задачи) примере простой экономической ситуации.

    Итак, в существующей обширнейшей литературе по теории исследования операций присутствуют три основных варианта взаимодействия с экономическими приложениями. Первый, наиболее распространённый, заключается в полном отсутствии таковых. Второй сводится к рассмотрению только самых простых и наглядных экономических ситуаций прямой задачи линейного программирования без связи более сложных теоретических результатов с конкретными экономическими задачами. Эти варианты были отмечены выше. В работах третьей группы (см., например, [8,10,12,15,19,21-24,26-29,30,32]) двойственная задача линейного программирования получает хотя бы частичное экономическое обоснование. Для дальнейшего рассмотрения формально сформулируем прямую и двойственную задачи линейного программирования.
    Прямая задача линейного программирования может быть связана со следующей ситуацией. Имеются n способов получения прибыли (выручки) с интенсивностями x_i. В каждом из них могут быть использованы m видов ресурсов (факторов производства), для которых существуют предельные интенсивности использования b_j . При этом интенсивность расхода каждого ресурса j и интенсивность получения прибыли (выручки) в каждом из процессов i линейно зависят от интенсивности этого процесса с коэффициентами a_ji и c_i , соответственно. Тогда оптимальный по критерию максимума получения прибыли план может быть получен из решения следующей прямой задачи линейного программирования:

Отношение к двойственной задаче у работ третьей группы различно.
    Можно выделить следующие подходы:
        a) вышеупомянутая дедуктивная формулировка, причём:
в ряде работ, например [8,21,24,32], формулируется только экономический смысл двойственных переменных z_j из (2) без привязки самой задачи (2) к какой-либо конкретной экономической ситуации.
    В других работах, например в [15,23,26,30], даются неполные, либо неудовлетворительные объяснения причин возникновения выражений, входящих в (2). Так, в [15] отсутствует обоснование минимизации целевой функции (2.1), в [23] в трактовке z_{j opt} присутствует явная ошибка, а ограничения (2.2) в обеих этих работах объяснены достаточно обще, что не добавляет читателю понимания причин возникновения этих ограничений.
    В некоторых работах ([12,19]) при формулировке ограничений (2.2) используются достаточно сложные логические конструкции с неполностью определённым ранее в этих работах смыслом, что также не способствует решению поставленной во Введении методической задачи.
        б) В ряде работ, например [10,28], на примере различных экономических моделей (статической линейной балансовой модели (Леонтьева) в масштабах национальной экономики в [28] и целой группе конкретных задач линейного программирования в [10]) весьма последовательно ставятся прямая и двойственная задачи, однако в двойственной задаче в (2.2) реально объяснён только знак “=”, причины выбора “? ” не представлены. Такая формулировка напоминает о возможности постановки двойственной задачи в альтернативной форме в виде равенств согласно [13], однако в [10,28] всё же приведены неравенства!
        в) Постановка двойственной задачи на основе выбранной в качестве примера экономической ситуации производится, в частности в [22,27,29], полностью логично и объясняет все выражения из (2). Поэтому остановимся на них подробнее.
    В [21,22], и других работах Канторовича, прямая и двойственная задачи формулируются на примере задачи раскроя с решением конкретного численного примера. При этом двойственная задача возникает при взаимодействии двух экономических субъектов: производителя и заказчика. Для них рассматривается проблема определения взаимовыгодных цен на продукцию. При этом у заказчика нет ясной альтернативы действий в случае существования цен, делающих заказ невыгодным. Много места в этих работах отводится различным способам использования двойственных оценок, однако использование в качестве исходной задачи раскроя существенно затрудняет для рядового читателя обобщение двойственной задачи на другие ситуации.
    У Данцига в [27] обоснование как целевой функции (2.1), так и неравенств (2.2) вполне логично, но приведено на двух чересчур конкретных и чрезмерно подробно рассмотренных примерах (занимает 4 страницы формата ~А4), и использует элементы субъективных интересов участников, что также затрудняет обобщение двойственной задачи.
    У Ланкастера [29] прямая задача поставлена аналогично рассмотренной выше в этом параграфе задаче (1), а двойственная формулируется чрезвычайно доступно следующим образом: при каких минимальных ценах на ресурсы производителю окажется выгоднее продать ресурсы, чем заниматься деятельностью в схеме (1). Однако с методической точки зрения [29] обладает двумя недостатками:
1) работа является монографией, поэтому, во- первых, труднодоступна, во- вторых, приведённая здесь формулировка по возможности освобождена мной от излишне громоздкой терминологии оригинала, который, к тому же, является примером, рассмотренным в качестве комментария.
2) Данная формулировка приводит к парадоксу нулевых цен. При этом избыточные в оптимальном плане задачи (1) ресурсы могут быть в полном объёме реализованы даром (по нулевой цене). Однако они (за исключением, возможно, небольшой своей части) участвуют в процессе формирования прибыли наравне с дефицитными, имеющими ненулевую оценку. При этом реально может сложиться ситуация, рассмотренная в [19]. В ней реализация избытка недифицитного ресурса приведёт к переопределению всей задачи (1) с возможностью получения большей, чем в оптимальном плане, прибыли. При этом возможна ситуация, в которой получаемая в подходе “производство + реализация остатков” прибыль будет всё же больше, чем в случае продажи ресурсов по ценам, равным двойственным оценкам.
    Из всего вышесказанного видно, что для решения методической задачи Введения можно использовать два подхода: либо привести логичное объяснение знака неравенств (2.2), исходя из каких-либо теоретических соображений, подобно упомянутым в пункте б), либо, как в работах пункта в), предложить простую экономическую ситуацию, порождающую задачу (2). Первый подход может быть реализован следующим образом: поскольку в задаче минимизации цен ресурсов ограничения должны описывать предельную в смысле процесса получения прибыли ситуацию (без ограничения цен ресурсов снизу оптимальной окажется нулевая оценка всех ресурсов), то неравенства должны задавать ситуацию, в которой процесс получения прибыли уже не может быть продолжен, а такое возможно лишь в случае превышения, или равенства издержек всех m процессов (левые части (2.2)) над получаемой в них выручкой (правые части (2.2)), что и объясняет, хотя и не очень прозрачно, знаки в (2.2). Второй подход кажется мне более очевидным и приведён в следующем параграфе.
    В заключение приведённого выше краткого обзора литературы, касающейся вопросов теории исследования операций отмечу, что работы, в которых вопросы экономических приложений изложены наиболее доступно, являются, в основном, монографиями, либо изданы до 1980 года. Всё это не позволяет использовать их в качестве универсальных учебных пособий в настоящее время. В связи с этим проводившиеся в СПбГУП работы по совершенствованию методического обеспечения курса экономических приложений теории исследования операций [18-20], к которым относится и настоящая работа, являются совершенно необходимыми.

Решение прямой задачи линейного программирования отвечает на следующий вопрос:
при каких объёмах (интенсивностях) n производственных процессов (процессов получения прибыли), в которых используются m видов ресурсов (факторов производства) с известными предельными объёмами (интенсивностями) использования этих ресурсов выручка от реализации (прибыль) будет максимальна в случае, когда интенсивность расхода каждого ресурса и интенсивность получения прибыли (выручка) в каждом из процессов линейно зависят от интенсивности этого процесса.
Решение двойственной к ней задачи отвечает на следующий вопрос:
при каких наименьших ценах на единицу ресурса экономическому агенту будет невыгодно дальнейшее расширение производства за счёт приобретения новых объёмов дефицитных в сложившихся условиях экономической деятельности ресурсов.
При такой формулировке двойственной задачи из условия минимизации цен вытекают (2.1) и (2.3), а из условия невыгодности продолжения деятельности прямо возникает условие превышения или равенства издержек над выручкой от реализации. Эта формулировка имеет следующие плюсы: 

1. обе задачи ставятся одновременно с использованием общей для них обеих логики планирования производственного процесса (или вообще любого процесса получения прибыли), причём с методической точки зрения обе формулировки чрезвычайно прозрачны.
2. Не возникает отмеченного для работы [29] выше (а так же в [37] и др.) парадокса нулевых цен избыточных ресурсов.

1. Махов А.М. // Учёные записки экономического факультета СПб гуманитарного университета профсоюзов/ СПб: СПб гуманитарный университет профсоюзов .- 1997, № 3., Сс. 110- 114.
2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука. 1984.- 296 с.
3. Левин М.И. и др. Математические модели экономического взаимодействия. М.: Физматлит. 1993.- 376 с.
4. Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: 1973.- 336 с.
5. Дегтярёв Ю.И. Методы оптимизации. М.: “Советское радио”. 1980. - 272 с.
6. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука. 1980. - 256 с.
7. Тер-Киркоров А.М. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука. 1977. - 216 с.
8. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. М.: “Энергоатомиздат”. 1987. - 496 с.
9. Иозайтис В.С., Львов Ю.А. Экономико- математическое моделирование производственных систем. М.: “Высшая школа”. 1991. - 192 с.
10. Юдин Д.Б., Юдин А.Д. Экстремальные модели в экономике. М.: Экономика. 1979. - 288 с.
11. Юдин Д.Б., Горяшко А.П., Немировский А.С. Математические методы оптимизации устройств и алгоритмов АСУ. М.: “Радио и связь”. 1982. - 288 с.
12. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения). М.: Наука. 1969. - 424 с.
13. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука. 1981. - 340 с.
14. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. М.: МГУ. 1980. 199 с.
15. Ермольев Ю.М. и др. Математические методы исследования операций. Киев. “Вища школа”. 1979. - 312 с.
16. Математическая энциклопедия. т.1-5. Гл.ред. Виноградов И.М. М.: “Советская энциклопедия”. 1977-1985.
17. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука. 1991. - 448 с.
18. Селивохин О.С., Махов А.М:
    Программа курса "Экономико- математические методы и модели". СПб.: Изд. СПбГУП. 1997. - 12 с.
    Планы практических и семинарских занятий, самостоятельной учебной работы по курсу "Экономико- математические методы и модели". СПб.: Изд. СПбГУП. 1997. - 12 с.
19. Гагин А.А. Исследование эффективности использования производственных ресурсов с помощью методов линейного программирования. Учебно- методическое пособие для студентов экономического факультета. СПб.: Изд. СПбГУП. 1993.- 78 с.
20. Махов А.М. Методические указания по выполнению задания "Сетевые методы планирования" для студентов 3-го курса дневного и заочного отделений Экономического факультета. СПб.: Изд. СПбГУП. 1996. - 48 с.
21. Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. М.: Издательство АН СССР. 1960. - 348 с.
22. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука. 1972.
23. Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. Экономико- математические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи. . М.: “Радио и связь”. 1993. - 376 с.
24. Курицкий Б.Я. Оптимизация вокруг нас. Л.: “Машиностроение”. 1989. - 144 с.
25. Гасс С. Линейное программирование(методы и приложения). М.: Физматгиз. 1961. - 304 с. (S.I. Gass. Linear Programming: Methods and Applications. N.Y., McCraw- HillBook Company. 1964.)
26. Саати Т.Л. Математические методы исследования операций. М.: Воениздат. 1963. – 420 с. (T.L. Saaty. Mathematical Methods of Operation Research. N.Y. McCraw- HillBook Company. 1959.)
27. Данциг Дж. Линейное программирование (его применения и обобщения). М.: “Прогресс”. 1966. - 600 с. (G.B. Dantzig. Linear Programming and Extensions. Princeton, N.J., Princeton Univ. Press. 1963.)
28. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир. 1972. - 520 с. (H. Nikaido. Convex Structures and Economic Theory. N.Y., London., Academic Press. 1968.)
29. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: “Советское радио”. 1979. - 464 с. (K. Lancaster. Mathematical economics. N.Y., Macmillan company. 1968)
30. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир. 1972. Т.1 – 336 с. (H.M.Wagner. Principles of operations research. N.J. Prentice- Hall, Inc., Englewood Cliffs. 1969.)
31. Саати Т. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы. М.: Мир. 1973. – 304 с. (T.L. Saaty. Optimization in Integers and Related Extremal Problems. N.Y. McCraw- HillBook Company. 1970.)
32. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: “Прогресс”. 1975. - 606 с. (M. Intriligator. Mathematical Optimization and Economic Theory. N.Y. 1971.)
33. Кофман А., Анри- Лабордер А. Методы и модели исследования операций. Целочисленное программирование. М.: Мир. 1977. 432 с. (A. Kaufmann, A. Henry- Labordere. Methodes et modeles de la recherche operationnelle. Tome 3. Paris. Bordas. 1974. – in France)
34. Муртаф Б. Современное линейное программирование. М.: Мир. 1984. – 224 с.

(B.A. Murtagh. Advanced Linear Programming: Computation and Practice. N.Y. McCraw-HillBook Company. 1981.)
35. Банди Б. Основы линейного программирования. М.:”Радио и связь”. 1989. –176 с. (B.D. Bunday. Basic Linear Programming. Edvard Arnold. 1984.)
36. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. М.: Мир. 1991. Т.1- 360 с., Т.2- 342 с. (A. Schrijver. Theory of Linear and Integer Programming. N.Y. A Wiley- Interscience Publication. John Wiley & Sons. 1986.)
37. Шилар Х., Шварц К. Развитие оптимизационного мышления в политической экономии и связь оптимальных оценок и трудовой теории стоимости. Сс. 140- 221.// Экономика и оптимизация. / Отв.ред. Макаров В.Л.- М.: Наука. 1990 - 248 с. (L.V. Kantorovich at al. Economics and Optimization (in German). Akademie- Verlag. 1985.)
38. Брентьес С. К истории возникновения линейного программирования. Сс.222- 246. //Экономика и оптимизация. / Отв.ред. Макаров В.Л.- М.: Наука. 1990 - 248 с. (L.V. Kantorovich at al. Economics and Optimization (in German). Akademie- Verlag. 1985.)

 

Hosted by www.Geocities.ws