Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria.
La ecuación de la circunferencia se obtendrá a partir de lo siguiente.
Definición.- Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.
Teorema 1.- La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo radio es la constante, tiene por ecuación (x-h) +(y-k) =r
Demostración.- Sea P(x,y)(fig.1) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C (h,k) y radio r. Entonces, por definición de circunferencia, el punto P debe satisfacer la condición geométrica CP =r , la cual, por el teorema 2 del articulo 6, esta expresada, analíticamente por la ecuación (x-h) +(y-k) =r , de donde, (x-h) +(y-k) =r .
Recíprocamente sea P1 (x1,y1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (2) de manera que se verifica la igualdad (x1-h) +(y1-k)=r
De aquí se deduce, extrayendo la raíz cuadrada, (x1-h) +(y1-k) =r, que es la expresión analítica de la condición geométrica (1) aplicada al punto P1. Por tanto, demostrados los teoremas directo y reciproco, resulta que (2) es la ecuación buscada.
Para el caso particular en el centro C esta en el origen, h=K=O, y tenemos:
Corolario.- La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación
x +y =r
Por el teorema 1 observamos que, si se conocen las coordenadas del centro y la longitud del radio, la ecuación puede escribirse inmediatamente.
Esto sugiere un metodo para obtener la ecuacion de una circunferencia en cualquier problema dado; todo lo que se necesita es obtener las cordenadas del centro y la longitud del radio a partir de las condiciones dadas.
La construcción de una circunferencia, en geometría elemental implica la determinación del centro y el radio; el metodo alli empleado, aunque no siempre es el mas corto, puede usarse para obtener una geometría analítica, la ecuación de una circunferencia.
