Las funciones Trigonometricas son valores que varían con el tamaño de un ángulo. Un ángulo colocado en un plano semejante rectangular se dice que esta en la posición estándar si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo x.

En la Fig. 3, dejar a P (con coordenadas x y y ), ser cualquier punto a excepción del vértice sobre el lado terminal del ángulo q y r ser la distancia entre P y el origen. Cada una de las coordenadas x y y pueden ser positivas o negativas, dependiendo del cuadrante en que el punto P descansa; x puede ser cero, si P está sobre el eje y, o y puede ser cero, si P está sobre el eje x. La distancia r es necesariamente positiva y es igual al valor de », según el teorema Pitagórico.

Las funciones trigonométricas comúnmente usadas se definen como sigue:

Si el punto P, en la definición general de las funciones trigonométricas, está sobre el eje y, x es 0; por lo tanto, la división por cero es inadmisible en la matemáticas, la tangente y secante de tales ángulos como 90°, 270°, y -270° no existe. Si P está sobre el eje x, y es 0; en este caso, la cotangente y cosecante de tales ángulos como 0°, 180°, y - 180° no existen. Todos los ángulos tienen senos y cosenos, porque r nunca es igual a 0.

Desde que r es mayor o igual a x o y, los valores del seno q y coseno q se extienden desde - 1 a +1; la tangente q y cotangente q son ilimitadas, suponiendo cualquier valor verdadero; secante q y cosecante q puede ser igual o mayor de 1, o igual o menor que - 1.

Se muestra fácilmente que el valor de una función trigonometrica de un ángulo no depende de la elección particular del punto P, con tal que esté del lado terminal del ángulo, porque los radios solo dependen del tamaño del ángulo, no de donde el punto P se ubica sobre el lado del ángulo.

Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo derecho, las definiciones de las funciones trigonométricas dadas arriba pueden aplicarse a q como se indica a continuación (Fig. 4).

Imagine que el vértice A se pone en la intersección del eje x y el eje y en la Fig. 3, ese AC se extiende a lo largo del eje positivo x, y B es el punto P, para que AB = AP = r. Entonces el seno de q = y / r = un / c, y ese, como se indica a continuación:

los valores numéricos de las funciones trigonométricas de unos pocos ángulos pueden fácilmente obtenerse; por ejemplo, el ángulo agudo de un triángulo derecho isósceles es 45°, como se muestra en la Fig. 4. Por lo tanto, se indica que

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo pueden determinarse aproximadamente por sacar el ángulo en la posición estándar con una regla, brújula y transportador; por medir x, y, y r; y después por calcular las relaciones apropiadas. Realmente, es necesario que para calcular los valores del seno q y coseno q solo para unos ángulos seleccionados, porque los valores para otros ángulos y para las otras funciones pueden ser encontrados por usar una o más de las identidades trigonométricas que se enumeran más adelante.

Las fórmulas siguientes, llamadas identidades, que muestran las relaciones entre las funciones trigonométricas, retienen para todos los valores del ángulo q, o de dos ángulos, q y f, para que las funciones envueltas sean:

Por el uso repetido de una o más de las fórmulas en el grupo V, que es conocido como fórmulas de reducción, el seno q y el coseno q puede expresarse para cualquier valor de q, desde el punto de vista de los sinos y cosenos de ángulos entre 0° y 90°.

Por el uso de las fórmulas en los grupos I y II, los valores de la tangente q, cotangente q, secante q, y cosecante q puede encontrarse desde los valores del seno q y coseno q. Es por lo tanto suficiente para tabular los valores del seno q y coseno q para valores de q entre 0° y 90°; en práctica, para evitar cálculos tediosos, los valores de las otras cuatro funciones también se han hecho disponibles en tabulaciones para la misma gama de q.

La variación de los valores de las funciones trigonométricas para ángulos diferentes puede ser representada por diagramas, como en la Fig. 5. Se comprueba fácilmente desde estas curvas que cada de una de las funciones trigonométricas es periódica, que es, el valor de cada se repite en intervalos regulares llamados períodos. El período de todas las funciones, exceptúa la tangente y la cotangente, es 360°, o 2p radianes. La tangente y cotangente tiene un período de 180°, o p radianes. Muchas otras de las identidades trigonométricas pueden derivarse desde las identidades fundamentales. Todas se necesitan para las aplicaciones y estudio adicional de trigonometría.

la declaración y es el seno de q, o y = seno q que es equivalente a la declaración de que q es un ángulo, el seno que es igual a y, escrito simbólicamente como q = arc seno y = seno - 1 y. La forma de arc se prefiere. Las funciones inversas, arc coseno y, arc tangente y, arc cotangente y, arc secante y, arc cosecante y, se definen similarmente. En la declaración y = seno q, o q = arc seno y, un valor determinado de q determinará infinitamente muchos valores de y. Así, seno 30° = seno 150° = seno (30° + 360°) = seno (150° + 360°). . . = 1/2; por lo tanto, si q = arquea peca 1 / 2, entonces q = 30° + n360° o q = 150° + n360°, en que n es cualquier entero, positivo, negativo, o cero. El valor 30° es designado como el valor básico o principal de arc seno 1 / 2. Cuando se usa en este sentido, el término arc generalmente se escribe con la letra A mayúscula. También aunque no sea el uniforme, el valor principal de seno o de Arc y, Arc coseno y, Arc tangente y ,Arc cotangente y, Arc secante y, o Arc cosecante y, usualmente se define para ser el ángulo entre 0° y 90° si y es positivo; y, si y es negativo, por las desigualdades.