Simon Pierre Laplace

(1749-1827)

 Matemático y astrónomo francés, nacido en Normandia el 2 de marzo de 1749 en el seno de una humilde familia de campesinos.Sus primeros estudios fueron sufragados por sus convecinos, asistió a la escuala mailitar de Beaumont y a los 10 años ingresó a la universidad de Caen», en 1767 con el apoyo de D§ Alembert¬ ocupó una plaza de profesor en la Escuela Militar de París. En 1773 fue elegido para la Academia de Ciencias como miembro adjunto y como numerario en 1785. En 1810 seriá también elegido miembro de la Academia Francesa.

Sus primeros trabajos científicos fueron de indole exclusivamente matemática y entre ellos se encuentra el descubrimiento del método de desarrollo de un determinado por menores ó complementarios. Pero pronto dirigió su atención a la Mecanica celeste que desde la obra de Newton había evolucionado poco y tenia planteados serios problemas.En 1790 publicó la Exposisión du syisteme du monde obrá astronómica de divulgación que incluye una teoria cosmogónica según la cual el sol se habría formado por contracciones enfriamento de una nebulosa incandescente; los planetas serían fragmentos desprendidos posteriormente por el sol y los satélites procederían de los planetas mediante la misma génesis. Está teoría fue muy difundida y gozó de la aceptación casi general durante mas de un siglo. Pero Laplace estaba, desde 1773 según propia referencia, tratando de resolver el gran problems mecánico del sistema solar y conseguir una relación tan intima entre la teoría y la observación que las ecuaciones empíricas resulten superfluas. Fruto de este esfuerzo fue la Mecanica celeste obra de cinco volúmenes (1799-1825).En ella se enfrenta con el enigma de las anomaías observadas en las órbitas de los planetas, para cuya corrección, según Newton se necesitaba periódicamente la intervención directa del Creador a fin de evitar el caos. Laplace empezó estudiando las irregularidades existentes en los movimientos de Júpiter y Saturno hasta demostrar que eran consecuencia de la atracción mutua y que se compensaba en un ciclo de 92 años asi pues teniendo tales perturbaciones de carácter periódico, y no acumulativo como creyerá Newton, la estabilidad del conjunto de los dos planetas quedaba indefinidamente asegurada.

Igualmente analizó y explicó las anomalías existentes el los movimientos de los satélites de Júpiter, abordando luego el estudio de las referentes a la órbita Lunar, las cuales habían sido objeto de infructosa meditación por parte de los astrónomos desde Hiparco. En el volumen de la Mecanique que dedica a esta cuestión, descubre la influencia del aplastamiento de la Tierra sobre el movimiento de la Luna e inversamente a partir del movimiento lunar calcula el aplastamiento de la Tierra; estudia las anomalías debidas a la atracción solar y busca la causa de la aceleración secular del movimiento mediante de la Luna, atribuyéndola a una disminución de la excentricidad de la órbita terrestre.

El conjunto Laplace demostró a partir de la mecánica newtoniana que los planetas se mueven de manera que las anomalías de sus órbitas son periódicas y que en un lapso de 2’000,000 de años se encajaban todos los ciclos posibles, volviendo estos a repetirse indefinidamente.

Posteriormente H. Poincar‚ (1854-1912) pondría objeciones a esta prueba, aduciendo que Laplace había supuesto a los planetas como cuerpos rígidos e indeformables moviéndose en un espacio absolutamente vació, hipótesis no totalmente verdaderas. Y ya en el siglo XX al establecer Einstein la equivalencia entre masa y energía se deducía en consecuencia que el Sol pierda masa en forma de calor y de luz con lo que la armonía laplaciana quedaba perturbada a largo plazo.

En electromagnetismo descubrió las leyes que llevan su nombre.

En 1812 publicó Laplace una obra matemática, Théoria analytique des probabiliteseen la que da a conocer las llamadas ó transformaciones de Laplace de considerable aplicación en diversas cuestiones matemáticas a ella siguió en 1814 el Essai philosophique des probabilites.

También escribió una Histoire de I'Astronomie. Estas dos últimas obras han sido traducidas al español. Laplace participó en los avatares de la vida públicá francesa con ambición y versatilidad comparables a las que Talleyrand y Fouche. Consiguió que su antiguo alumno de la Escuela Militar, Napoleón Bonaparte, le nombrase ministro del Interior, cargo del que le separó el Emperador seis semanas después porque no perdió tiempo en demostrar que como administrador era peor que mediano. Y llevaba el espíritu de los infinitesimal a la administración. No obstante Napoleón le nombró senador y luego presidente del senado, gran oficial de la Legión de Honor y conde. En 1813 Laplace votó la destitución del Emperador y se pasó a las filas borbónicas en las que recibió entre otros honores, un título de marqués. Muere en París el 5 de marzo de 1827.

Las obras completas de Laplace fueron editadas a expensas del Gobierno francés en siete volúmenes (1843-47) y en volúmenes en edición preparada por la Academia de Ciencias de París (1878-1912).

EL TEOREMA DE CONVULCION.

En esta sección estableceremos la más importante propiedad de la transformada de Laplace, la llamada fórmula de convulción, Lejos de ser tan solo un dispositivo calculatorio la fórmula de convolución desempeña un importante papel en ciertas investigaciones teóricas de análisis avanzado. Encontraremos que también es idealmente adecuada para la tarea de la construcción de inversos para operadores diferentes lineales con coeficientes constantes.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE COMO TRANSFORMACION LINEAL .

Denotamos por el conjunto de todas las funciones por tramos de orden exponencial, visto como un espacio real bajo las definiciones usaules de adición y multiplicación escalar y se el conjunto de todas las funciones de valor real definidas en intervalos. Podemos entonces hacer también de un espacio vectorial real con tal de que modifiquemos la adición que hasta aquí hemos usado para los espacios funcionales para acomodarla al hecho de que los elemetos de no esten definidos todos en el mismo intervalo. Específicamente sé æ y ç son dos funciones cualesquierá de æ « g y cuyo valor en cualquier punto ó de tal intersección es f(s© « g(s). Entonces, con la multiplicación escalar usual, es un espacio vectorial real.

En virtud de las obsrvaciones hechas después de la prueba del teorema 4-1 podemos afirmar que la transformada de Laplace aplica el espacio vectorial en el espacio vectorial y es apenas natural preguntarnos si esta aplicación es lienal. Puede parecer que la contestación a esta pregunta sea obvia, pero, por desgracia, la respuesta obvia es errónea. La dificultad surge cuando del hechoï de que f+ç no es necesariamente la misma función que (f© « (g) como puede verse si consideramos el casoï en que f(t© ½ Con aô y g(t© ½ - Con at. Entonces por tanto (f© « (g© es la función cero en el intervalo (0, ), pero en todo eje de los s ( ).

Resulta claro por esto que lo único que estamos autorizados decir es que (f+g© y æ « ç son idénticas para aquellos valores de ó en donde tanto una como otra función están (las dos) definidas; afirmación que no es del todo igual a asegurar su igualdad.

Pero una vez que hemos reconocido esta dificultad es claro que podemos sostenerla simplemente acordando considerar dos funciones como idénticas siempre que coincidan en un

intervalo de la forma (a , ).

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE.

La tabla consta de tres partes. La primera contiene fórmulas de naturaleza general la segunda las transformadas de un pequeño número de funciones seleccionadas.Cuando se usan

conjuntamente, estas dos partes de la tabla darán las transformadas de Laplace de la mayor parte de las funciones que se presentan en la práctica. La tercera parte de la tabla tiene como finalidad primordial el cálculo de las transformadas inversas y por ellos se disenó para leerse de derecha a izquierda. Los métodos de fracciones parciales y completación del cuadrado, etc. Son desde luego indispensables en tales cálculos. Finalmente, aquellas fórmulas de la primera parte de la tabla son particularmente adecuadas para evaluar transformadas inversas.

ECUACIONES DIFERENCIALES ENCICLOPEDIA GER

KREIDER - KULLER. PAGS. 14-15.

PAGS. 149,170,193.