Uitwerkingen schriftelijk examen VWO wiskunde B 1999 1e tijdvak

Opgave 1

5p  1 x-as: y = 0

-2t4 + 4t2 = 0

-2t2(t2 -2) = 0

t = 0 V t = V t = -

t = 0: x = 0; y = 0 (0,0)

t = : x = - 11/3; y = 0; (- 11/3, 0)

t = -: x = 11/3; y = 0; (11/3, 0)

y-as:

x = 0

4/3t3 - 4t = 0

4/3t (t2 - 3 ) = 0

t = 0 V t = V t = -

t = 0: x = 0; y = 0 (0 , 0)

t = : x = 0; y = -6 (0 , -6)

t = -: x = 0; y = -6 (0 , -6)
7p  2 C (0 , -6) ==> t = V t = -

dx / dt = 4t2 - 4    dy/dt = -8t3 + 8t

dy / dx = (-8t3 + 8t) / (4t2 - 4) = -2t

t = : dy / dx = -2

t = -: dy / dx = 2

de hoek met de x-as is dan 73,9°

de gevraagde hoek is 180 - 2 x 73,9 = 32°
5p  3 y maximaal

dy/dt = -8t3 + 8t = 0

-8t(t2 - 1) = 0

t = 0 V t =1 t = -1

t = -1: x = 22/3 y = 2: A(22/3 , 2)

t = 1: x = -22/3 y = 2: A-(22/3 , 2)
5p  4  
   
 

Opgave 2
11p 5 f(x) = 2sin2x - 2sinx

Snijpunten met de X-as :

2sin2x - 2sinx = 0

2sinx.(sinx - 1) = 0

sinx = 0 of sinx = 1

Op [0 , 2p]:

x = 0 of x =1/2p of x = p of x = 2p

Extremen : f'(x) = 4sinxcosx - 2cox = 0

4cosx . (sinx - 1/2 ) = 0

cosx = 0 of sin x =1/2

x = 1/2 p + kp of x = 1/6p + 2kp of x = 5/6p + 2kp

Tekenoverzicht op [0 , 2p]:

Minima in x = 1/6p van - 1/2 en in x = 5/6p van - 1/2

Maxima in x = 1/2p van 0 en in x = 11/2p van 4
8p  6 Bepaal eerst een primitieve F(x) van f(x); gebruik daarbij de bekende dubbele-hoekformule cos2x = 1 - 2sin2x;

dat geeft 2sin2x = 1 - cos2x, zodat f(x) = 1 - cos2x - 2sinx

De primitieve met integratieconstante nul is F(x) = x - 1/2sin2x + 2cosx

De gevraagde oppervlakte is (corrigeer voor negatieve uitkomsten van de integraal):

- 2.(integraal van f(x) tussen 0 en 1/2p) + (integraal van f(x) tussen p en 2p) =

- 2.(F(1/2p) - F(0)) + F(2p) - F(p) = - 2.(1/2p - 2) + 2p + 2 - p + 2 = 8
8p  7 Bereken de gemeenschappelijke punten van f(x) en gp(x) :

f(x) = gp(x), dus 2sin2x - 2sinx = psinx

sinx.(2sinx - 2 - p) = 0

sinx= 0 of sinx = (2+p)/2 ==> voor p = -2 wordt sin x = o, dus p = -2 moet worden uitgesloten

sinx= 0 geeft x = 0 of x = p of x =2p; dat zijn reeds drie oplossingen

De tweede vergelijking moet twee oplossingen hebben; dat leidt tot de eis

-1 < (2+p)/2 < 1 en p <> -2; even uitwerken geeft: - 4 < p < -2 V -2 < p < 0
 

Opgave 3
4p  8 Als x -> oo dan ex --> oo

2ex / (ex + 1) --> 2 / (1 + 1/ex) --> 2 --> y = 2 is hor. as.

Als x --> -oo dan ex --> 0 --> 2.0 / (0 + 1) = 0 --> y = 0 is hor. as.
8p  9  
8p 10

Eerst de raaklijn bepalen.

x = 1 --> y = 2e / (e + 1) --> P ( 1 , 2e / (e + 1))

nu de rico:

y' = 2ex / (ex + 1)2

de rico = 2 / (e + 1) 2

de lijn wordt dan: y = 2e / (e + 1) 2 x + 2e2 / (e + 1)2

snijden met y = 2 levert op: x = 2e +1 / e

xQ =2e +1 / e

Dan wordt P'Q' = 2e +1 / e - 1 = e + 1 / e

opp PP'Q' = 1/2 . 2e / (e + 1) . e + 1 / e = 1
 

Opgave 4
6p 11

Je dient eerst de loodrechte richting te vinden. Verbindt daartoe het snijpunt van EG en HF met het snijpunt van AC en BD.

Teken de middelloodlijnen vab AB en BC. Maak nu gebruik van de loodrechte richting om de projecties van E,F,G en H te vinden.

Nu is de afstand van E naar het grondvlak 4. Het is nu eenvoudig in te zien dat de afstand van E' naar AB gelijk is aan 4.

Dit is 1/3 van de het lijnstuk tussen AB en CD. De rest is eenvoud.
7p 12

De tangens van de gevraagde hoek is 4 : 5

de Hoek is 44°
8p 13 Het middelpunt M moet liggen op de loodlijn door het midden van ABCD.

MA2 = h2 + 72

ME2 = (4 + h)2 + 22 = h2 + 8h + 48 + 4 = h2 + 8h + 52

ME = MA

h = 5/6

h= 8,61 onder het vlak ABCD

Terug naar index

Hosted by www.Geocities.ws

1