Par M. Mustafa Farhat
Niveau
: Classes terminales
Sections : Maths & Sciences Exp.
Partie A –
1°) Soit 
la fonction définie sur
par : 
.
Calculer 
et montrer que l’équation
admet dans
une unique solution 
.
2°) Etudier les variations de . Déduire
que l’équation 
admet une unique
solution 
.
Déduire le signe de 
pour 
.
3°) Soit 
la fonction définie
sur 
par : 
si et 
a – Montrer que est continue a droite
en 
. est elle dérivable a droite en .
b – Montrer que pour tout 
.
c – Etudier les variations de et
représenter sa courbe 
dans un repère
orthonormé 
.
On prend 
; 
et 
.
Partie B –
On définie sur 
la famille de fonctions
suivante :
et pour tout 
: 
.
1°) Montrer que pour tout et pour tout 
.
2°) a – Montrer que pour tout 
: 
b – Montrer par récurrence que pour tout 
et pour tout
on a : 
.
3°) Soit 
. On pose 
avec .
a – Calculer 
en fonction de 
et 
.
b – Calculer 
.
4°) a – Prouver que pour tout 
: 
.
En déduire que :
( 1 )
b – En intégrant la relation ( 1 ) ; déduire que :
5°) On définie sur 
la fonction 
par :
.
a – Montrer que est continue sur .
b – En déduire que :
.
c – Déduire pour 
un encadrement de
l’aire du domaine limité par
;
; 
et
