MENSURACIÓN Y GONIOMETRÍA DE LA GRAN PIRÁMIDE

La sorprendente exactitud de las medidas de la Gran Pirámide junto con el análisis de la goniometría egipcia nos hace llegar a la conclusión de los egipcios debieron poseer medios ópticos de alta precisión para obtener los resultados logrados manifestando el mismo Petrie que no se imaginaba como pudieron llegar a hacer medidas de esta precisión ya que llegaron a medir ángulos con errores que no excedían de tan solo 12", algo impensable para no aceptar que no poseyeran instrumentos de alta precisión.

La Mensuración

En todos los textos de historia de la Matemática se repite monótonamente, como una verdad concretamente establecida, que los egipcios no fueron más allá del puro empirismo en sus concepciones matemáticas pues su geometría estuvo en todos los casos destinada a la sola mensuración del suelo, es decir, aplicada a una finalidad práctica.

En realidad, si juzgamos los conocimientos matemáticos de los egipcios por los pocos textos que han llegado hasta nosotros su matemática fue bastante primitiva. Así por ejemplo, Neugebauer puntualiza que lo máximo obtenido por la matemática egipcia de todos los tiempos fue el conocimiento de la tabla de multiplicar por dos. Los babilonios poseyeron tablas completas de multiplicar – similares a la conocida "tabla pitagórica" de la enseñanza infantil – pero los egipcios no llegaron ni a esto, pues sus métodos de multiplicación consistieron en un ingenioso sistema que permitía multiplicar por cualquier número con el solo conocimiento de la duplicación. En mi opinión lo que revela el papiro Rhind en este sentido es nada más que la prueba de la observación de Platón de que los egipcios habían logrado una alta perfección didáctica enseñando a los niños la matemática como si estuvieran jugando. En este sentido me permito recomendar a los maestros modernos el método egipcio de multiplicación pues permitiría el aprendizaje de la aritmética en una forma entretenida que, al mismo tiempo, ensenaria al niño la esencia del método matemático: la economía de principios. No creo que los arqueólogos del futuro serían justos con nosotros si juzgaran nuestros conocimientos matemáticos por los textos del jardín de infancia. El que nosotros únicamente poseamos textos de enseñánza infantil egipcios no quiere decir que fuera éste el máximo nivel alcanzado por la matemática de aquel pueblo – tan admirada por los griegos.

Pero si no poseemos testimonios para juzgar el máximo nivel alcanzado por la matemática abstracta egipcia, en cambio sus obras en piedra nos permiten apreciar su capacidad de mensuración.

Ya hemos visto que en el sarcófago de Illahum lograron – sobre granito rosa – una exactitud de paralelismo de 0,06 mm/metro que coincide con las normas modernas para prismas ópticos. Vimos que este mismo orden de exactitud se logró sobre los prismas del revestimiento calcáreo de la Gran Pirámide y también en el sarcófago de Kefrén. Todo esto nos da una idea del trabajo de mensuración egipcio.

Otras de las estructuras de notable exactitud logradas por los artífices egipcios es la Cámara del Rey en la Gran Pirámide de donde, como señala Petrie, podemos obtener el patrón de medidas egipcio (Codo Real) con un mínimo de error. La longitud de la pared Norte es según Petrie de 10,4797 m y la del costado Sur de 10,4782. El error de medida es pues del orden de 0,08 mm/metro, vale decir, correspondiente a la misma calidad de mensuración anteriormente analizada.

La longitud de 10 metros de la Cámara del Rey nos ha permitido confirmar el orden de precisión que, evidentemente, corresponde a un mismo tipo de instrumento universalmente aplicado. El estudio de otra estructura de gran tamaño – la propia base de la pirámide – nos permitirá confirmar lo anteriormente visto.

Como ya hemos dicho, el revestimiento calcáreo fue medido por sus constructores con precisión óptica tal que podría decirse se trata de 25.000 prismas ópticos de 16 toneladas cada uno. No hay para qué pensar que esta inmensa tarea de ultraprecisión no deba corresponderse con la de la base donde se asientan estos "prismas ópticos opacos". Se impone, empero, un somero análisis de la topografía de la base. En la Fig. 1 puede verse en forma esquemática (fuera de escala) el detalle de la base de la Gran Pirámide. Las medidas aquí consignadas corresponden a las de Borchardt y Cole y puede apreciarse que la línea BC corta a la perpendicular B’C’ en el punto 0 (centro de BC y B’C’). Por consiguiente, AB’C’D es un cuadrado perfecto. Para determinar el grado de exactitud con que ha sido efectuada la medición debemos comparar el valor AB’= AC’ con AD.

Tendremos:

(AB + DC) / 2 = 230,354

que comparado con AD = 230,357 m nos da un error total de 3 mm o sea un error relativo de 0,02 mm/metro, homogéneo con los valores anteriormente señalados para el error relativo promedio.

Para quien tenga cierta familiaridad con la medición de precisión todo esto es no imaginable para una cultura de la Edad de Piedra. Las fuentes de error en este tipo de mediciones son numerosas y si el conocimiento del nivel, la lupa y el nonius son indispensables para realizarlas, aún así no basta y se requieren conocimientos adicionales de física y termología, Si descartamos que todas las medidas que vamos viendo sean producto del azar, se nos plantea un serio problema tecnológico.

No es posible pensar que medidas de esta precisión hayan sido efectuadas con cuerdas de palma. En consecuencia debieron utilizar varillas o alambres de metal; pero así, ¿cómo explicar que efectuaran la corrección de la dilatación térmica de los metales? En efecto, teniendo en cuenta que el cobre fue el metal mejor conocido por los egipcios y suponiendo que hicieron con él las varillas de medición el error producido por la dilatación térmica para una longitud de 230 metros es el siguiente:

D l mm = (2,30 x 1,8 x D t) mm = (4,14 x D t) mm

(donde se ha tomado el coeficiente de dilatación lineal para el cobre como alfa = 1,8 X 10exp-5 /ºC ).

Diferencias diurnas de más de 20ºC entre las 10 de la mañana y las 2 de la tarde son normales en Gizeh; ello representa una diferencia de 80 mm en las longitudes medidas. Un error de medida de 3 mm implica por tanto un control de la temperatura con un error menor de 0,2 grados. Cualquier topógrafo sabe que este control exacto de la temperatura no es posible al aire libre y que por ello se usan cintas de "Invar" (aleación de hierro con 36% de níquel de bajo coeficiente de dilatación térmica). Para lograr la precisión obtenida por los egipcios se requieren cintas de invar con un control adicional de temperatura del orden del grado centígrado. Sin hablar de los múltiples errores inherentes a este tipo de operaciones, el haber logrado la exactitud de 0,02 mm/metro en una mensuración en donde la dilatación térmica por sí sola puede llegar a 0,3 mm/ metro es un índice de capacidad tecnológica que, por otra parte, viene refrendado por la homogeneidad de los errores de medición que venimos observando.

Se puede aquí apreciar una vez más la profunda divergencia que separa a los métodos filológico y tecnológico de investigación arqueológica. Desde el punto de vista filológico los egipcios efectuaron sus medidas con cuerdas de palmera; el método tecnológico exige la posesión de termómetros y un conocimiento exhaustivo de la física de los metales.

Goniometría :

La goniometría es uno de los puntos cruciales en la discrepancia que resulta del análisis arqueológico conducido filológicamente y el análisis arqueológico que utiliza elementos de la tecnología. De importancia para estos estudios será el conocimiento de la capacidad de apreciación de los diferentes instrumentos usados en diversas épocas para la medición de ángulos. El instrumento primitivo que corresponde a nuestro teodolito de hoy era el astrolabio, y el antecesor del sextante lo fue la ballestilla o "bastón de Jacob". Con cualquiera de estos instrumentos el error que se cometía era del orden de 30’.

Astrolabios de grandes dimensiones fueron usados siempre por los astrónomos. Hiparco fue quien inauguró en época histórica la astronomía de precisión. Su astrolabio debió estar formado por "alidadas" (guías rectilíneas) y "pínulas" (diafragmas con pequeños agujeros). A pesar de este instrumento, Hiparco pudo descubrir la "precesión del equinoccio" por contar con las observaciones de Aristilos que acumularon, a lo largo de 130 años , una diferencia en longitud, de la posición de las estrellas, de 1º 50’.

El astrolabio de Ptolomeo (130 d.C.) medía cor errores de 10’, como lo afirma Kepler en su "Comentario sobre Marte", y no hay que pensar que el de Hiparco fuera mejor. Tampoco los astrolabios árabes posteriores fueron mejores y a pesar del extremo cuidado que manifiestan algunos de sus catálogos de estrellas – el más notable de los cuales fue el confeccionado por Ulug-Beg en el observatorio de Samar- kanda – sus astrolabios daban errores por encima de este margen.

El verdadero comienzo de la astrometría de precisión se debe a Ticho Brahe (1590). Según Kepler los errores de observación de Ticho eran del orden de 2´. Ello permitió a Kepler el descubrimiento de las leyes que llevan su nombre pues en el movimiento de Marte había un error de 8’ que estaba muy por encima de los errores de Ticho y que Kepler explicó por la elipticidad de la órbita de este planeta.

Ahora bien, si los promedios de observación de Ticho Brahe con su enorme astrolabio de cuadrante mural (casi 5 metros de diámetro) de Uranienburg eran de 2’, el error del instrumento puede calcularse en 10’. Una idea del grado de precisión alcanzada por el astrónomo dinamarqués nos la puede dar el razonamiento psicofisiológico pues el poder resolutivo del ojo humano es del orden de 1’. La medición de un ángulo acumula un error mínimo de 2’ (dos observaciones). Ahora bien, Ticho Brahe consideraba que el diámetro de las estrellas de primera magnitud era de 2’. Esto prueba que lo que en realidad estaba midiendo Ticho era el poder resoIutivo de su propio ojo pues las estrellas – como se vio después con el telescopio – son puntuales.

En cuanto a otros instrumentos no-ópticos, todavía se emplean para agrimensura de baja precisión ciertos dispositivos como la "escuadra de pínulas" (las pínulas son aquí cerdas o hilos de Nylon) y las "escuadras de espejos". El error de estos instrumentos se puede apreciar en los 20’. Cuando pasamos a estudiar la goniometría egipcia nos encontramos con la sorpresa de que aquellos tecnóIogos medían ángulos con la precisión de un segundo de arco (1"). Después de lo que hemos visto, esto debe considerarse como sobrenatural pues trasciende ampliamente la capacidad de ver del ojo humano. En efecto, como lo observara Petrie, pueden considerarse los errores de medición angular de los egipcios por debajo de los 12" de arco. En realidad, la exactitud egipcia es mucho mayor y puede, por diversos análisis que iremos viendo, calcularse en una precisión por debajo del segundo arco. No hay que olvidar que los 12" de Petrie están referidos, entre otras cosas, a los ángulos diedros rectángulos con error de 10" del revestimento y los sarcófagos. Pero éste es un error "normalizado" que implica un error máximo de 2 a 3 segundos en el instrumento. El ángulo N.O. de la Gran Piramide, po ejemplo, mide 89"59’58" lo que, tratándose de un, replanteo, es indicatorio de una precisión del orden de 1´´. Los buenos teodolitos modernos miden con un error de 1´´. Estos errores son inevitables dada la cantidad de factores incidentes tales como los errores de la lectura de los nonius, dilatación térmica de instrumentos y elementos de lectura, errores de nivelación, error de arrastre, viento, errores de apreciación sobre el retículo, refracción atmosférica, etc., etc. Todo esto, evidentemente, ha debido ser tenido en cuenta por los topógrafos egipcios.

Vemos, pues, que lo mismo que en el caso de la mensuración, el error de angularidad es del mismo orden en las estructuras pequeñas (sarcófagos, cámaras) que en las grandes. Ello presta una homogeneidad al sistema de medidas egipcias que excluye cualquier hipótesis basada en el azar o la casualidad. En la Fig. 1 podemos apreciar una explicación esquemática (fuera de escala) de la topografia de la base de la Gran Pirámide, según los datos de Cole-Borchardt. En el ángulo N-O se indica el error (por defecto) de –0º0’2´´ que debe ser distribuido entre errores de medición y replanteo de ellos y nosotros. En cambio en los ángulos N-E y S-E hay diferencias con el ángulo rectángulo de +3’2" y –3’33" que no pueden ser atribuidos a error. Como hemos mostrado en "La Merisuración" la simetría con que el lado BC corta al lado ideal B’C’ nos muestra un propósito deliberado al que nos vamos a referir en seguida. Debe observarse desde ya que la línea B’C’ forma con el lado BC un angulo exacto de 3´0´´.

Este ángulo de 3’0" que forma el lado Oeste con el lado Este corresponde a una técnica usada en varias ocasiones por los contructores de la Gran Pirámide y que nos permite escribir la longitud del lado ideal de la Gran Pirámide con indicación de un "error standard":

L= ( 230,355 +- 0,1005) metros

Observando el ángulo SO 90º0’33", este "error" de 33´´ es exagerado para la capacidad de medición goniométrica egipcia. Cabe preguntar si no podria tratarse de un "error al estilo de los viejos babilonios. Es interesante observar que 32,4´´ corresponden a una subdivisión exacta en el Sistema Decimal de división de la circunferencia. La decimalidad del trabajo egipcio, en la Gran Pirámide hace factible la hipótesis de la división decimal de sus instrumentos de medición angular.

Continuando el estudio de la goniometria egipcia corresponde analizar el problema que ya vimos constituía la orientación según el meridiano de las pirámides. Como quiera que estos monumentos fueron construidos hace "5000 años" y el polo terrestre está sometido a movimientos anuales y seculares, únicamente por el conocimiento de la posición del polo en la época de erección de la pirámide sería posible hacer un análisis exacto del problema goniométrico. Lamentablemente, nuestra geofísica no está todavía en condiciones dé abordar este problema que es objeto en este momento de discusiones geofísicas y geológicas. Para A. G. Kamarov los movimiento seculares del polo permitirían explicar las modificaciones climáticas observadas en la evolución terrestre. W. Markowitz desde el punto de vista geofísico calcula este desplazamiento en 0"032 por año a lo largo del meridiano 60º E. Ello representaría un movimiento no mayor de 16" en los "5000 años" transcurridos desde la erección de la Gran Pirámide. Manifiestamente esto es inferior a los 5’ indicados por las pirámides, pero hay que considerar que se trata de trabajos incipientes en un terreno por el momento desconocido de la geofísica. Quizás el primero que haya pensado que la desviación de 5’ al oeste del meridiano indicado por la Gran Pirámide podía deberse a la desviación del polo haya sido Petrie quien hace un análisis geofísico del problema sobre el supuesto del desplazamiento de la masa de agua oceánica como causante de la desviación del polo terrestre. Hay que tener en cuenta que Petrie estaba altamente familiarizado con la goniometría egipcia y sabía muy bien que un error de 5 minutos no podia ser cometido por aquellos trabajadores de precisión. En opinión de Petrie los errores de medición de ángulos de los egipcios no excedían de los 12", manifestando, al mismo tiempo, que no se imaginaba como pudieron hacer medidas de esta precisión.

Pero si bien no conocemos la posición exacta del polo en la lejana época de Kheops, en cambio podemos establecer una comparación entre la pirámide de Kheops y la de Kefren que fueron erigidas en época muy próxima entre sí. Los valores azimutales se encuentran expresados en la siguiente tabla donde aparece la desviación hacia el Oeste de las estructuras de ambas pirámides:

TABLA II

Desviación Azimutal

Kheops

Núcleo (Petrie) : 5´16´´

Pasajes (Petrie) : 5´49´´

Revestimiento Este (Cole) 5´30´´

Promedio: 5´31´´

Kefren:

Pasajes (Petrie) : 5´37´´

Revestimiento Este (Cole) 5´26´´

Promedio: 5´31´´

Este resultado nos muestra eI exacto paralelismo de dos estructuras separadas por más de un kilómetro de distancia.

Se puede pensar que ambas orientaciones fueron determinadas independientemente con relación a las estrellas circumpolares, o que se orientó astronómicamente una y Ia otra lo fue con relción a la primera. Pero con esto el problema tecnológico no se supera pues en ambos casos el instrumento necesario para efectuar medidas de esta precisión debió tener un error por debajo del segundo. Lo concreto es que hoy día un parelelismo de dos estructuras del orden que presentan las dos grandes pirámides de Gizeh no se puede conseguir con los teodolitos comunes. No hay pues, que pretender que los egipcios fueran capaces de hacer sin teodolitos lo que nosotros apenas podemos hacer con el auxilio de estos instrumentos. Podemos enfocar el problema anterior desde otro punto de vista, teniendo en cuenta el "peso del error". En tal caso la comparación deI azimuth de ambas pirámides deberá hacerse con relación a la orientación del revestimiento – estructuras que deben contener los errores más reducidos– pero con ello no varían los resultados. La conclusión es, nuevamente, que el instrumento egipcio debió medir con errores por debajo del segundo de arco– en plena coincidencia con todos los otros aspectos de la goniometría y la mensuración de precisión que venimos analizando.

Como puede verse en la Tabla II el cuerpo de la pirámide de Kheops, sus pasajes y su revestimiento del lado Este se encuentran en un exacto paralelismo que coincide asimismo con el del revestimiento, cuerpo y pasajes de la pirámide de Kefren. Por esta circunstancia la observación de que los otros lados (Norte, Sud y Oeste) de la base de la pirámide de Kheops están orientados 3’ hacia el Este del Norte con relación a la dirección anterior revela un hecho intencionado que debe ser analizado. Más adelante vamos a ver que los egipcios empleaban un sistema de indicación de magnitudes por el promedio de una mayor y otra menor. Como vimos hace un momento, el lado Oeste de la base representa con exactitud milimétrica el promedio del lado Norte y el Sud. Esto coincidiría con lo que vamos a ver más adelante, pero la indicación del promedio se hubiera efectuado mucho mejor orientando correctamente los tres lados y dejando el lado Este en la dirección anormal. Los egipcios han procedido de otra manera mostrando ello que atribuían un valor especial a la orientación representada por los tres lados.

Con ello nos quedan indicadas dos direcciones para el meridiano. Una, la más probable, indicada por el lado Este, el cuerpo y los pasajes de la Gran Pirámide y los cuatro lados del revestimiento, el cuerpo y los pasajes de la pirámide de Kefren: o sea la dirección 5’31" al Oeste del Norte. La otra dirección indicada por los tres lados del revestimiento de la Gran Pirámide, señalan una orientación de 2’29" con relación a nuestro meridiano. ¿Qué significan estas dos direcciones para el meridiano? Recordemos que Zaba interpretaba la duplicacfón del meridiano que aparece en los templos egipcios como debida a que observaciones efectuadas durante milenios les habían mostrado la existencia de un movimiento secular del polo geográfico– cosa natural en una cultura que poseía registros milenarios. Pero observando que nosotros, los modernos, también tenemos duplicado el meridiano es muy probable que la duplicación egipcia corresponda a la propia nuestra, es decir, que la segunda direccion (la indicada por los tres lados anómalos de la base de la pirámide de Kheops) correspondería a la dirección del meridiano magnético. Se plantea empero el problema del valor de dejar indicada tal dirección para una época tan remota. Teniendo en cuenta la variabilidad secular extrema del polo magnético esta indicación puede haber correspondido a varias épocas sucesivas en el transcurso de los milenios. Una objeción similar puede hacerse a la teoría de Zaba sobre la duplicación del meridiano en los templos egipcios pues la observacíón a lo largo de milenios no daría una exacta duplicación sino que indicaría múltiples posiciones y el meridiano por tanto debía ser indicado por múltiples líneas y no solamente por las dos que venimos viendo.

Se puede plantear la cuestión de que la brújula, en tiempos históricos, recién se conoce por los relatos de viajeros que vieron su uso por marinos árabes en el Mar de Arabia hacia el 1250, o por la posibilidad de que fuera conocida siglos antes por los Vikingos. En mi opinión, los avanzados tecnólogos egipcios difícilmente pudieron ignorar las propiedades de la aguja magnética. Esta sería la mejor explicación, y la más natural, de la duplicación del meridiano de los egipcios tanto en los templos como en la la vista duplicación indicada por las pirámides.

Nivelacion:

Continuando el estudio de la goniometria egipcia analizaremos otro interesante problema tecnológico planteado por la Gran Pirámide y al cual los distintos investigadores han tratado de resolver de diversas maneras, cada uno según su criterio previamente formado en torno a la capacidad técnica que debieron poseer los egipcios. Se trata de la perfecta euclidicidad y horizontalidad del plano de la base de la Gran Pirámide. El problema es altamente interesante porque la nivelación debió efectuarse prescindiendo de las direcciones diagonales ya que en el centro los constructores dejaron sin tocar la piedra de la meseta y solamente rebajaron el perímetro. Este mismo mogote central dificulta, cómo lo sabe todo agrimensor, las operaciones de cuadración del perímetro de la base que debió ser efectuada por medios puramente ópticos. El estudio de la base revela un plano perfecto en todo el perímetro de 920 metros que presenta un desnivel homogéneo a lo largo de la diagonal S-E/N-O de tal manera que el ángulo S-E se revela 15 mm más alto que el N-O. Sobre la diagonal de 325 m esto representa un error de 0,04 mm/metro, en homogeneidad con todos los errores relativos que hemos calibrado. Mostrando ello, una vez más, la existencia de un instrumento que arrojaba errores por debajo de este orden. Al estudiar el problema presentado por esta desnivelación homogénea de un plano perfecto surge la posibilidad de que en los milenios transcurridos el suelo de la meseta de Gizeh haya sufrido una alteración en su horizontalidad. Con todo, la precisión lograda es importante asimismo la perfección del plano. El error angular sería de 8".

La impresión de conjunto de la goniometría egipcia es que debieron poseer medios ópticos de alta precisión para obtener los resultados logrados por ellos.

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Este análisis pertenece al libro:
El Enigma de las Pirámides (editorial Kier), cuyo autor es José Alvarez
López,
director del Instituo de Estudios avanzados de Córdoba (Argentina).
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BIBLIOGRAFIA usada por el autor

- Petrie:  -The pyramids and temples of gizeh. Londo, 1904
                - Illahum. Kahum and Gurob. London, 1889
                - Methods and aims of archeology

- Borchardt, L: Gegen ddie Zahlenmystik an der grossen Pyramide bei Gise.
Berlin, 1922

- Cole: The determination of the exact size and orientation of the Great
Pyramid of Giza (Survey f Egipt, paper N 39), 1925

- Dunham D. Building and Egyptian Pyramid. Archeology. IX 1956

- Schade: Arbeitsverfahren der Feinoptik. Braunschweig, 1954.

-Clarke: Ancient egyptian masonry. Oxford 1930.

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